院試体験期

W大

英語で足切りされた。TOEICで550点必要だったところが、530点だった。 TOEICはもう間に合うのはなくてIELTSなども受けたが、これもだめ。

N大

合格。 学部の成績がよかったため、面接だけの試験を受けることができた。(これに落ちれば通常の筆記+面接の試験をもう一度受ける仕組み)。

その面接では大失敗した。 Y先生から「無限組み合わせ論で印象に残っている定理」を聞かれた。僕は「Delta System Lemma」と答えた。 定理の主張と証明をホワイトボードに書かされるのだが、主張は書けたが証明はほとんど書けなかった…。これでよく通ったなあ。

あとはM先生から基数に関するちょっとした問題を出される。だいぶヒントをもらいながらだったけれどなんとか解くことができた。

T大

一般入試で合格。 筆記試験は微積と線形を解かずに、「集合」「位相」「代数」「集合論」を解いた。

  • 集合: 全射単射の問題
  • 位相: 弧状連結性と連結性の問題
  • 代数: F_2[x]/(x3+x+1)の問題
  • 集合論: カントール空間のコンパクト性を示す問題 (位相の用語は使わずに出題されているが実質的にはそういう問題)

面接は7分くらいであっさり終わった。 指導教官にDescriptive Set Theoryではどんなことをやっているのか聞かれて、MoschovakisのDSTの第6章の話をしたのだが、自分で読んだわけではない部分だったので (人のゼミを聞いただけ)突っ込まれるとやばかった。突っ込まれずに済んだが。

入学先

N大にします。

2019年1月~7月振り返り

2018年度秋学期の時間割

1
2 多様体入門演習 トポロジーB 応用体育水泳(秋) 代数学IB
3 計算機数学II 関数解析入門 確率論II
4 多様体入門 関数解析入門演習 数理論理学II
5 卒研(秋BC) 代数学IIB
6 数学外書輪講(秋A) 卒研(秋BC)
  • 多様体入門演習: 長い直線について発表したら大変受けが悪かった
  • 関数解析入門: 相対評価なのでA+取るためにはかなり問題を解かないといけなくて大変
  • トポロジーB: 「この問題解いたらA+あげる」というのを解いて無事A+をもらった
  • 代数学IB: 群論をしっかりやってくれてありがたかった。位数75の群の分類が印象に残っている。あとは、初回の小テストで上級者向けを選んだらTorとExtを計算する問題を出されて撃沈したりとか

2019年度秋学期の時間割

1 論理回路(春AB)
2 論理回路(春AB)
3
4
5 卒研
6 卒研

2月

25日~28日: 数物セミナー合宿で静岡に行った。Riehlの"Category Theory in Context"でセミナーした。

組み合わせ論の本を読み始めた

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"Combinatorial Enumeration" (Ian P. Goulden & David M. Jackson)という本を借りました。所属大学の図書館になかったので別の大学から取り寄せて借用。

Random Mapping Statisticsという論文を読みたいのですが、この本に書いてあるようなことは前提知識としているようで、読むことを決定。

この読みたい論文には次のような内容が書かれています: nを自然数としてn元集合から自分自身への写像fがランダムに与えられたとき、そこから決まるグラフに関する量のn→∞の漸近挙動を見る。たとえば、不動点が存在する確率だとか、ランダムな初期値に対する周期の期待値だとか。

グラフに存在するサイクルの最小の長さの期待値については論文に書かれていないので、いつか自分で考察してみたいなあ。 そのためにはまずは、この"Combinatorial Enumeration"を読まねば。

この本と論文がある程度読めたら都数のTSとかで発表できたらいいな。

線形代数の最重要定理「基底のサイズ(次元)の一意性」を復習した

線形代数最重要定理:基底のサイズ(次元)の一意性

今日は線形代数の最重要定理といわれる「基底のサイズ(次元)の一意性」の証明を復習しました。

定理1: $V$を有限次元ベクトル空間とする。このとき$V$の基底のサイズは一意的である。

これは行列の階数標準形を使えばそんなに難しい話ではないですが、行列を使わずに証明するとなると結構やっかいです。齋藤正彦『線型代数入門』p.104に行列を使わない証明が載っています。

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行列を使う証明はせいぜいPID上の加群までしか一般化できないですが、この齋藤に載っている証明なら任意の可換環上の自由加群に対して同様の議論で証明ができるのがメリットかもしれません。

そういえば、一般の可換環上の自由加群についても階数の一意性が言えたはずでどうやって証明しているのだろうと気になり調べました。 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』を参照すると次のような証明。

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極大イデアルで割り、ベクトル空間の話に帰着されています。これは賢い。

ところで、こういう話をTwitterでしていたら「ジョルダン・ヘルダーの定理はベクトル空間の次元の一意性の一般化と思える」という話をある方から教えてもらいました。確かにそうですね。

線形代数2番目に重要な定理:線形独立な集合は基底に延長できる

次元の一意性が最重要定理なら、二番目に重要なのは基底の存在、もっと一般には「線形独立な集合は基底に延長できる」ことなんじゃないかと思いました。

定理2: $V$をベクトル空間とする。$S$を線形独立な$V$の部分集合とする。このとき$S \subseteq S'$となる$V$の基底$S'$が存在する

この定理、一般の可換環上の自由加群には一般化できません。例は$\mathbb{Z}$加群$\mathbb{Z}$で$S=\{2\}$です。 さて、では定理の証明のどこで体であることを使っているんでしょうか。

この定理の証明は次の2ステップに分かれます:

  1. 線形独立な集合$S$はそれを含む極大な線形独立な集合に拡大できる
  2. 極大な線形独立な集合は基底である

1つ目はいつも通りZorn補題を使えば示すことができ、一般の加群でも言えます。 2番目が体であることを本質的に使います。

2番目の証明を追ってみましょう。

ベクトル空間$V$において極大な線形独立な集合$S$は基底である

$S$が$V$を生成しないと仮定し、$x \in V \setminus \langle S \rangle$をとります (ここに$\langle S \rangle$は$S$の生成する空間)。 $S' = S \cup \{x\}$とおく。

主張: $S'$はまた線形独立である。

∵) 線形関係 $\sum_{i=1}^n a_i x_i + b x = 0 (a_i, b \in k, x_i \in S)$ を仮定する。$b=0$なら$S$の線形独立性よりこの線形関係は自明である。 $b \ne 0$なら両辺$b$で割り整理すると \[ x = \sum_{i=1}^n \left(-\frac{a_i}{b}\right) x_i \] となる。これは$x \not \in \langle S \rangle$に矛盾。よって主張が言えた。 //

よって、$S'$は$S$より真に大きい線形独立な集合。これは極大性に反する。 □

線形関係の$x$にかかっている係数$b$で割ったところがポイントです。ここで体であることを使っています。

まとめ

復習をしてみて、線形代数の理解が深まりました。

2018年9月~12月振り返り

9月

9/9~9/12。数物合宿に参加した。ハーツホーンの代数幾何学1巻を読んだ。僕が担当したのは1章の後半。かなり予習したけどハーツホーンは難しかった。

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https://twitter.com/fujidig/statuses/1038417162837229568

10月

秋学期開始。

代数は最初のテストでTorやExtを計算する問題が出てびっくりした。(上級者向けのテストだったのだ)

10/27, 28。関西すうがく徒のつどいに行く。すむーずぷりんちゃんさんのひたすら計算して円周率やlog 2だとかの評価をする発表がすごかった。y.さんのPresburger算術の決定可能性の証明、藤田先生の決定公理の発表も興味深かった。 飛行機の時間のため打ち上げで乾杯前に帰ってしまった。

11月

11/3。雙峰祭の某イベントでいくつかの数学の発表を聞く。ねげろんさんに久しぶりに会えた。丹下先生の発表が面白かった。

11/4。数学の会で「無作為な関数に現れる短い周期について」を発表した。

11/11。都内数学科学生集合にて発表。「Perfect Set Theorem」という題。

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都内数学科学生集合 on Twitter: "TS2日目昼の発表②がはじまってます! 発表者はGさんで、タイトルは「Perfect Set Theorem」です。… "

11/22~11/25。数学基礎論若手の会2018に参加する。「Vaught 予想と記述集合論」というタイトルで発表。いろんな方と親睦を深められてよかった。アメリカにいるGAPさんとスカイプで話せたのもよかった。

12月

12/4~。卒研ゼミが始まる。KunenのSet Theoryの3章。週に75分しか話せないので進みが悪い。

12/7。理科大で依岡さんのWhitehead問題の講演を聞く。

12/8, 9。数物セミナー愛媛談話会に参加。「短いループのできる確率」という題で発表。

スライド: https://fujidig.github.io/201812-short-period/201812-short-period.pdf

12/13。歯医者で親知らずを抜いてもらう。

12/23。都数の3年生のクリスマスセミナーに参加。愛媛で話したネタの置換バージョンを発表。

目標にしていた、「対称群S_nからランダムに置換をとってそれを巡回置換の積に分解したとき一番長い巡回の長さの期待値はn→∞で漸近的にλ n (λ ≈ 0.62432)になる」という定理は準備が間に合わず証明できなかった。これについてはまたどこかで話せるといいな。

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クリスマスプレゼントのiPad Pro。これとGoodNotesというアプリとの組み合わせはかなり良い。

2018年3月~8月の振り返り

春学期のスケジュール

1
2 心のしくみを解き明かす
ニューロサイエンス (春AB)
曲面論演習 トポロジーA 応用体育水泳(春) (春AB)
3 ルベーグ積分 数理統計学I 確率論I
4 曲面論 ルベーグ積分演習
5 プログラム理論 (春C)
6 数学外書輪講II プログラム理論(春C)

授業の振り返り

  • 心のしくみを解き明かすニューロサイエンス: 必修の総合科目。内職してた (そして成績が悪かった)
  • 曲面論: スライドでばんばん数式が出てくるので追うのがつらい
  • 数学外書輪講II: SiegelのLectures on the Geometry of Numbersを読んでいる。なんか8人くらいいる。まえけんがノートを見ずに発表するのですごい
  • 曲面論演習: けっこう楽しかった (点数を取るゲームとして)
  • ルベーグ積分: 今期一番頑張った (レポートなど)。期末テストはあんまり。コメントシートが得点になるので結構細かいことを聞いてしまって申し訳なさ
  • ルベーグ積分演習: 内職してた
  • トポロジーA: 単体的複体とホモロジー。ちゃんとやるなら授業だけではなく本も読む必要あるなあという感
  • 数理統計学I: 前半の点推定は全然わからんという感じだったが後半の区間推定はわかる感じがした
  • プログラム理論: 情報科学類の授業。ホーア論理の証明はもうしばらく書きたくない。あと教室の冷房がきつかった
  • 応用体育水泳: スキンダイビングやシンクロナイズドスイミングをした。あと毎回10分間泳。水泳は好きなので体育の科目水泳選べてよかった
  • 確率論I: 進みが遅いです
  • 数理論理学I: 単位認定されたので履修はしてない。フィルターとイデアルのイメージ図がよかった
  • 計算機数学I: こちらも履修していない。カラツバ法を教わってカラツバさん頭いいなーと思ったり、高速フーリエ変換を学んで分割統治は偉大だ、と感じるなど

筑波大学編入して

編入前の愛媛大学との比較。 良いところは、授業時間が75分と短い (90分は集中力持たない)。無料の保険センターがある (しかしもうすぐ有料になってしまうらしい)。他学類や上回生向けの科目を自由に取れるといったところ。いわゆる「3分の2ルール」(3分の2以上の出席がないと成績を評価しない)のようなものがないのはいいところというか当然だよね。

学生については勉強をする気がない学生はどっちも同じくらい。学年で一番できる学生のできは高くなった。授業のレベルは確実に上がったが、もうちょっと上の内容も扱っていいのになあという感じ。 先生と学生の距離の近さは愛媛大学の方が優れていた。

生活環境は、個人的にはそんなに変わってない気がする。

愛媛にいたときは自主ゼミをしていたが、学部生の間で自主ゼミをする文化はこっちにはあまりないようだ。ロジックの学生(主に院生)が集まる毎週の集まりで記述集合論のゼミを始めた。

放課後や空きコマはセミナー室で同期と一緒に過ごすことが大半であった。これがなかなか楽しい。

3月

新居に引っ越した。 意識さんに筑波大学構内の案内をしてもらうなどした。

玲於奈さんからホワイトボードを頂いた。

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ロジックの研究集会 手形 L4 研究集会に参加した(3/26〜3/29)。非常に豪華な先生方と連日の懇親会で話すことができてとてもよかった。

4月

単位読み替えの面談をした。

都数 (都内数学科学生集合)の4月総会に参加した。

4月の終わりごろからセミナー室に同期が集っているのに混じるようになり始めた。

5月

KunenのFoundationsのゼミを始めた。が、忙しくて夏休みまで第2回が出来なかった。

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5月31日からMoschovakisの”Descriptive Set Theory”の自主ゼミを始めた。

6月

6月2日と3日、数学カフェ『公理的集合論』回に行った。

6月17日、かが☆みんさんとエヴィン・ラティエさんとオフ会した。

6月24日から数物合宿に備えてアティマクを読み始める。

7月

7月15日、筑波大の有志が開催した「数つくば」というイベントに登壇。「無限ゲームで遊ぼう」というタイトルで発表。

スライド:

https://fujidig.github.io/201807-infinite-games/201807-infinite-games.pdf

二人有限確定完全情報ゲームの必勝方がある理由の証明とか無限ゲームにおける必勝法がある場合の条件とか知れてめちゃくちゃ楽しいプレゼンだった。 #数つくば

でぃぐさんの発表、かなり噛み砕いて頂いたおかげで非常に分かりやすう内容で素晴らしいの一言。 #数つくば

オタフロ(コミケ3日目東V28b) on Twitter: "でぃぐさんの発表、かなり噛み砕いて頂いたおかげで非常に分かりやすう内容で素晴らしいの一言。 #数つくば" オタフロ(コミケ3日目東V28b) on Twitter: "二人有限確定完全情報ゲームの必勝方がある理由の証明とか無限ゲームにおける必勝法がある場合の条件とか知れてめちゃくちゃ楽しいプレゼンだった。 #数つくば"

7月21日は海の日セミナーというのに参加した。

8月

体調悪い日が多かった。数物合宿でハーツホーンをリレーセミナーで読むので、それに向けて代数幾何の勉強をしていた。

2017年振り返り

1月~3月

1月に数学科合宿に参加した。iok先生の作った補完多項式とベルンシュタインの多項式の問題を解いた。僕以外のチームメンバーはオタク四天王のうちの3人。最優秀賞をとれたのでうれしい。 合宿後、ベルンシュタインの多項式をアニメーションで見せるものをDesmosで作ったりした。

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位相と線形代数の自主ゼミが終わった。位相は松坂和夫の『集合・位相入門』を位相の章の最初からウリゾーンの補題まで読んだ。線形代数は齋藤正彦の『線型代数入門』を線形空間の章から読み始めて、ジョルダン標準形をやり、第7章2節「行列の冪級数」まで読んだ。

4月~7月

前期の授業スケジュール

1
2 情報数理学I (1Q)
確率統計I (2Q)
複素解析学I(1Q)
幾何学I(2Q)
電磁気学II 情報数理学I (1Q)
確率統計I (2Q)
幾何学I(2Q)
3 微分方程式論I (1Q) 量子力学演習I
4 数学セミナーI 量子力学I 複素解析学I(1Q) 微分方程式論I (1Q)
5

OCamlC言語インタプリタを作った。

twitter.com 詳しくは以下

p進数を構成する話を理学ゼミ講演会でやった。

数学セミナーの授業でルベーグ積分のセミナーをやり始めた。参加者は僕含めて4人。教科書は吉田信生の『ルベーグ積分入門』。当初ルベーグ積分をフビニまでやって確率論の本に進む予定だったので、週2回という忙しいペースでやった。結局、フビニまでは行けなかったが、とても充実したセミナーだった。

twitter.com セミナーの案内プリントにこんなことが書かれていた。なるべくこれを実践したつもりだったが、むずかしい。

情報数理学の授業でDurand-Kerner法を勉強した。それをビジュアライズするプログラムをJavaScriptで書いた。

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去年の4月からやっていたCooperの“Computability Theory”のセミナーが終了した(5/12)。Part 1をすべて読んだ。帰納的関数の定義から初めて、不完全性定理、ペアノ算術の決定不可能性をやり、決定可能な公理系にも触れたところで終了。

5月頃からけみすとくんとジョセフくんと大学のトレーニングルームに行き始めた。最初はベンチプレスの25kgですらきつかったが、35kgを上げれるようになった。しかし、最近は行けてない…。

TOEICの試験を受けた(5/21)。前回490点だったところ、675点をとれたのでうれしい。あまり勉強したつもりではなかったので何かの間違いじゃないのかと思った。次は800点を目指したい。

けみすと邸で餃子パーティ(6/9)。たのしい

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編入学試験を受けにつくばに行った(7/15~16)。今までつくばは未来都市!ってイメージあったけど案外普通だった。ただし、自動運転のつくばエクスプレスはすごかった。 試験と同じ日にAtCoderのコンテストがあり、ネカフェから参加した。水色コーダーになれた。試験もうまくいったしこんなに調子の良い日はない。

数学セミナーの発表会で発表した(7/24)。先生方からよく理解しているとか明快な発表とかコメントシートでコメントしてくださって嬉しい。質問タイムにH出先生から「リーマン積分はできるけどルベーグ積分できない関数はあるの?」との質問を受け「有界区間ならないけど、そうでないときは勉強していないので知らない」と答えた。あとで教科書を確認したら非有界なら反例があることを知った。

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電磁気学と集合の自主ゼミをしていたのだけど前者は僕の忙しさのため、後者は参加者の都合のため終わることになった。

8月-9月

イベントに参加しすぎた。

数物セミナーでは可換代数班になり、“A Term of Commutative Algebra”のセミナーをした。 僕が担当したのは第5章「Exact Sequences」と第6章「Direct Limits」。時間配分を完全にミスり、第5章だけで1日目をつぶしてしまった。結局、各人が2つ章を担当する予定が1つだけ担当となり、それぞれの配分時間も尻すぼみになってしまった。申し訳ない。 しかし、第6章の予習で初めて圏論に触れ、とても楽しかった。

夜ゼミにて、計算論についての発表をした。満足。

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10月-12月

後期の授業スケジュール

1 統計力学演習I
2 自然のしくみ (3Q)
歴史を考える (4Q)
統計力学I 複素解析学II (3Q)
3 複素解析学II (3Q)
4 数学セミナーII
5

数物セミナー談話会が愛媛で開かれたので参加&発表した。

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発表のTogetterは以下

発表PDFは以下

たくさんツイッターで実況してもらえたのでとてもうれしい。ほかの発表もとても面白いものだった。

藤田先生にモデル理論のゼミを見ていただくことになった(9/26~)。教科書は『ゲーデルと20世紀の論理学(ロジック)〈2〉完全性定理とモデル理論』。途中から難しくなってきて3回くらいゼミをお休みさせてもらった。今年度でゼミを終わりにせざるを得ないので、終わりまでに量化記号消去を読めたらいいなあ。

数学セミナーⅡの授業としてノイキルヒの『代数的整数論』を読み始めた。2節が重かった。指導教官のO下先生と授業時間後も議論することしばしば。ありがたい。

Y内先生の4回生+院生向けの位相の授業を聴講し始めた。ストーンチェックコンパクト化などを扱う。とても面白い。

数学とコンピュータⅡ Advent Calendar 2017に参加した。

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Math Advent Calendar 2017 - Adventarにも参加登録したのだが、記事が書けていない…。時間を見つけて書ければいいなあ

おわりに

充実した1年になった。あと少しで愛媛を離れることになる。残りの3か月も頑張っていこう。 離れる前にけみすと達ともう一度くらい飲み会 or パーティ or カラオケがしたいなあ。