読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

CのサブセットをJSで実装した

CのサブセットをJavaScriptで実装しました。 以下のページで動かせます。 https://fujidig.github.io/c-subset-in-js/ ソースコードは以下 https://github.com/fujidig/c-subset-in-js 実装している機能は以下の通り。 型は多倍長整数型のみ (それをintと書…

不定形の極限であって収束するが,ロピタルの定理を使っては極限値を求められない例

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{t=0}^x \sin (1/t) dt}{x} $$ は不定形の極限($0/0$型)であり,この極限は$0$に収束する. 一方で分母分子をそれぞれ$x$で微分したものの極限 $$ \lim_{x \to 0} \sin (1/x) $$ は発散する. よって最初の極限の値はロピタル…

XorShiftの一例が周期最長になることを確かめるPari/GPプログラム

XorShiftと呼ばれる疑似乱数のうち状態ベクトルが64ビットである例を一つとり、これが最長の周期2^64-1を達することを確認する。 \\ determine that order of g equals to n isprimitive(g, n, e=1) = { my(factors, p); if (g^n != e, return(0)); factors …

自然数の定義

順序数 以下の条件を満たす集合$x$を順序数と呼ぶ。 $x$のどんな要素も$x$の部分集合である $x$は属する($\in$)という関係において整列順序集合である 順序数の間には属するという関係で全順序が定まる。そこで順序数$\alpha, \beta$に対して$\alpha \in \be…

一次分数変換を試すプログラム

猫画像版: http://fujidig.github.io/fractional-transform/ 市松模様版: http://fujidig.github.io/fractional-transform/#checker 複素平面上の変換$z \to \frac{z - \alpha}{z - \beta}$を試すプログラムです。赤丸が$\alpha$, 青丸が$\beta$を表し、それ…

ミンコフスキーの定理と線形合同法の多次元疎結晶構造

_

この記事は次の場所へ移動しました。 http://fujidig.github.io/articles/minkowski-and-lcg.html

R^dのある点列の集積点全体となる集合は?

定義 $\mathbb{R}^d$の点列$\{x_n\}$に対し、この点列の収束する部分列の極限となる点を点列$\{x_n\}$の集積点という。 問題 $\mathbb{R}^d$のある点列の集積点全体となる集合はどんな集合か。 答え $\mathbb{R}^d$の閉集合である。 必要性の証明 $A \subset…

{a_n}の第n項のn乗根がある値に収束するとき隣り合った項の比も同じ値に収束するか

背景 微分積分学においてべき級数の収束半径というものがありますが、この求め方として次の二つがあります。 (係数比判定法) $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = l$ が存在すればべき級数$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$の収束半径$\rho$は$\rho = 1…

R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか?

$\mathbb{R}$上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか? 答え: No. カントール集合が反例となる。 カントール集合の定義 区間$I = [0,1]$を3等分して中央の開区間$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$を除く。残りの二つの区間をまた3等分して中央の開区間$…

Ax = bが解を持つようなb

『代数の考え方』 (梅田 亨)に未証明で載っていた事実を証明してみようとしたところ,なかなか手こずった. 内積と直交補空間を使って証明したが、内積を使わずに証明できるのだろうか? $A$を$(m,n)$型複素行列とする. このとき, \( \qquad\begin{align} 1次…

合成函数の極限

$\require{color}$ $\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} f(x) = b \end{eqnarray}$, $\begin{eqnarray}\lim_{y \to b} g(y) = c \end{eqnarray}$であっても、$\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} g(f(x)) = b \end{eqnarray}$とは限らない。*1 仮定($\lim_{x \to a…

Rubyの配列のsharedフラグ (その1)

この記事では執筆時点最新のCRuby trunk リビジョン45349のソースを参照して書いています。CRubyの配列の実装にはsharedフラグというものがあります。これは複数の異なる配列オブジェクトが実体メモリを共有するためのものです。 特別にフラグの立っていない…