ディオファントス方程式が整数解を持つことは任意の自然数nについてmod nの解を持つことと同値かどうか

整数係数多項式を使って書けるの方程式 をディオファントス方程式という。 ディオファントス方程式の例は とか などがあげられる。 さて、ディオファントス方程式が整数解を持つならば、当然それをで射影すればの解が得られる。 逆に任意の正整数についての…

集合論の言語の有限構造がZFCの各公理を満たすか判定するプログラム

この記事はMathematical Logic Advent Calendar 2019の8日目の記事です。 もともと「C[0,1]の中の微分可能関数全体がΠ^1_1完全なこと」という記事を書く予定でしたが、予定変更です。 adventar.org 集合論の言語の有限構造がZFCの各公理を満たすか判定するプ…

Davisのゲーム

Mathematical Logic Advent Calender 2019 5日目の記事です。 adventar.org 「閉集合から決まる無限ゲームには先手か後手のどちらかに必ず必勝法が存在する」という事実を使い、非可算な解析集合はすべて完全集合を含むことを示します。 PDF: https://fujidi…

院試体験期

W大 英語で足切りされた。TOEICで550点必要だったところが、530点だった。 TOEICはもう間に合うのはなくてIELTSなども受けたが、これもだめ。 N大 合格。 学部の成績がよかったため、面接だけの試験を受けることができた。(これに落ちれば通常の筆記+面接の…

2019年1月~7月振り返り

2018年度秋学期の時間割 月 火 水 木 金 1 2 多様体入門演習 トポロジーB 応用体育水泳(秋) 代数学IB 3 計算機数学II 関数解析入門 確率論II 4 多様体入門 関数解析入門演習 数理論理学II 5 卒研(秋BC) 代数学IIB 6 数学外書輪講(秋A) 卒研(秋BC) 多様体入門…

組み合わせ論の本を読み始めた

"Combinatorial Enumeration" (Ian P. Goulden & David M. Jackson)という本を借りました。所属大学の図書館になかったので別の大学から取り寄せて借用。 Random Mapping Statisticsという論文を読みたいのですが、この本に書いてあるようなことは前提知識と…

線形代数の最重要定理「基底のサイズ(次元)の一意性」を復習した

線形代数最重要定理:基底のサイズ(次元)の一意性 今日は線形代数の最重要定理といわれる「基底のサイズ(次元)の一意性」の証明を復習しました。 定理1: $V$を有限次元ベクトル空間とする。このとき$V$の基底のサイズは一意的である。 これは行列の階数標準…

2018年9月~12月振り返り

9月 9/9~9/12。数物合宿に参加した。ハーツホーンの代数幾何学1巻を読んだ。僕が担当したのは1章の後半。かなり予習したけどハーツホーンは難しかった。 https://twitter.com/fujidig/statuses/1038417162837229568 10月 秋学期開始。 代数は最初のテストで…

2018年3月~8月の振り返り

春学期のスケジュール 月 火 水 木 金 1 2 心のしくみを解き明かすニューロサイエンス (春AB) 曲面論演習 トポロジーA 応用体育水泳(春) (春AB) 3 ルベーグ積分 数理統計学I 確率論I 4 曲面論 ルベーグ積分演習 5 プログラム理論 (春C) 6 数学外書輪講II プ…

2017年振り返り

1月~3月 1月に数学科合宿に参加した。iok先生の作った補完多項式とベルンシュタインの多項式の問題を解いた。僕以外のチームメンバーはオタク四天王のうちの3人。最優秀賞をとれたのでうれしい。 合宿後、ベルンシュタインの多項式をアニメーションで見せる…

CのサブセットをJSで実装した

CのサブセットをJavaScriptで実装しました。 以下のページで動かせます。 https://fujidig.github.io/c-subset-in-js/ ソースコードは以下 https://github.com/fujidig/c-subset-in-js 実装している機能は以下の通り。 型は多倍長整数型のみ (それをintと書…

不定形の極限であって収束するが,ロピタルの定理を使っては極限値を求められない例

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{t=0}^x \sin (1/t) dt}{x} $$ は不定形の極限($0/0$型)であり,この極限は$0$に収束する. 一方で分母分子をそれぞれ$x$で微分したものの極限 $$ \lim_{x \to 0} \sin (1/x) $$ は発散する. よって最初の極限の値はロピタル…

XorShiftの一例が周期最長になることを確かめるPari/GPプログラム

XorShiftと呼ばれる疑似乱数のうち状態ベクトルが64ビットである例を一つとり、これが最長の周期2^64-1を達することを確認する。 \\ determine that order of g equals to n isprimitive(g, n, e=1) = { my(factors, p); if (g^n != e, return(0)); factors …

自然数の定義

順序数 以下の条件を満たす集合$x$を順序数と呼ぶ。 $x$のどんな要素も$x$の部分集合である $x$は属する($\in$)という関係において整列順序集合である 順序数の間には属するという関係で全順序が定まる。そこで順序数$\alpha, \beta$に対して$\alpha \in \be…

一次分数変換を試すプログラム

猫画像版: http://fujidig.github.io/fractional-transform/ 市松模様版: http://fujidig.github.io/fractional-transform/#checker 複素平面上の変換$z \to \frac{z - \alpha}{z - \beta}$を試すプログラムです。赤丸が$\alpha$, 青丸が$\beta$を表し、それ…

ミンコフスキーの定理と線形合同法の多次元疎結晶構造

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この記事は次の場所へ移動しました。 http://fujidig.github.io/articles/minkowski-and-lcg.html

R^dのある点列の集積点全体となる集合は?

定義 $\mathbb{R}^d$の点列$\{x_n\}$に対し、この点列の収束する部分列の極限となる点を点列$\{x_n\}$の集積点という。 問題 $\mathbb{R}^d$のある点列の集積点全体となる集合はどんな集合か。 答え $\mathbb{R}^d$の閉集合である。 必要性の証明 $A \subset…

{a_n}の第n項のn乗根がある値に収束するとき隣り合った項の比も同じ値に収束するか

背景 微分積分学においてべき級数の収束半径というものがありますが、この求め方として次の二つがあります。 (係数比判定法) $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = l$ が存在すればべき級数$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$の収束半径$\rho$は$\rho = 1…

R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか?

$\mathbb{R}$上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか? 答え: No. カントール集合が反例となる。 カントール集合の定義 区間$I = [0,1]$を3等分して中央の開区間$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$を除く。残りの二つの区間をまた3等分して中央の開区間$…

Ax = bが解を持つようなb

『代数の考え方』 (梅田 亨)に未証明で載っていた事実を証明してみようとしたところ,なかなか手こずった. 内積と直交補空間を使って証明したが、内積を使わずに証明できるのだろうか? $A$を$(m,n)$型複素行列とする. このとき, \( \qquad\begin{align} 1次…

合成函数の極限

$\require{color}$ $\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} f(x) = b \end{eqnarray}$, $\begin{eqnarray}\lim_{y \to b} g(y) = c \end{eqnarray}$であっても、$\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} g(f(x)) = b \end{eqnarray}$とは限らない。*1 仮定($\lim_{x \to a…

Rubyの配列のsharedフラグ (その1)

この記事では執筆時点最新のCRuby trunk リビジョン45349のソースを参照して書いています。CRubyの配列の実装にはsharedフラグというものがあります。これは複数の異なる配列オブジェクトが実体メモリを共有するためのものです。 特別にフラグの立っていない…