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Ax = bが解を持つようなb

『代数の考え方』 (梅田 亨)に未証明で載っていた事実を証明してみようとしたところ,なかなか手こずった.

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内積と直交補空間を使って証明したが、内積を使わずに証明できるのだろうか?

$A$を$(m,n)$型複素行列とする. このとき,

\( \qquad\begin{align} 1次方程式系 A{\bf x} = {\bf b} が解を持つ &\Leftrightarrow {\bf b} \in \rm{Im} A \\ &\Leftrightarrow \{\{{\bf b}\}\} \subset \rm{Im} A \\ &\Leftrightarrow (\rm{Im} A)^\perp \subset \{\{{\bf b}\}\}^\perp \\ &\Leftrightarrow \rm{Ker} A^* \subset \{\{{\bf b}\}\}^\perp \\ &\Leftrightarrow (\forall {\bf y} \in \mathbb{C}^m)(A^*{\bf y} = {\bf o} \Rightarrow {}^{t}\bar{\bf b}{\bf y} = 0) \\ &\Leftrightarrow (\forall {\bf y} \in \mathbb{C}^m)({}^t\bar{A}\bar{\bf y} = {\bf o} \Rightarrow {}^{t}\bar{\bf b}\bar{\bf y} = 0) \qquad\cdots{\bf y}が\mathbb{C}^m全体を動くとき\bar{\bf y}も\mathbb{C}^m全体を動くから \\ &\Leftrightarrow (\forall {\bf y} \in \mathbb{C}^m)({}^t{\bf y}A = {{}^t\bf o} \Rightarrow {}^{t}{\bf y}{\bf b} = 0). \end{align} \)