順序数
以下の条件を満たす集合$x$を順序数と呼ぶ。
- $x$のどんな要素も$x$の部分集合である
- $x$は属する($\in$)という関係において整列順序集合である
順序数の間には属するという関係で全順序が定まる。そこで順序数$\alpha, \beta$に対して$\alpha \in \beta$のことを$\alpha < \beta$と書く。
0
空集合$\{\}$は順序数である。そこでこれを$0$と書く。
後続数
順序数$\alpha$に対して $$ S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\} $$ を$\alpha$の後続数という。
後続順序数
順序数$\alpha$に対して、$\alpha = S(\beta)$となるような順序数$\beta$が存在するとき$\alpha$を後続順序数という。
自然数
順序数$\alpha$は、$\alpha$以下の任意の順序数$\beta \ne 0$が後続順序数であるとき自然数と呼ぶ。
参考文献
- Kenneth Kunen (1980) Set Theory - An introduction to independence proofs, North Holland
コメント
自然数とは有限の順序数である、という定義だと有限集合の定義と循環してしまうよなーと思って調べました。
自然数とは$\omega$より小さい順序数である、$\omega$とは($0$を除いて)最小の極限順序数である、という定義でもよさそうですね。
