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自然数の定義

順序数

以下の条件を満たす集合$x$を順序数と呼ぶ。

  1. $x$のどんな要素も$x$の部分集合である
  2. $x$は属する($\in$)という関係において整列順序集合である

順序数の間には属するという関係で全順序が定まる。そこで順序数$\alpha, \beta$に対して$\alpha \in \beta$のことを$\alpha < \beta$と書く。

0

空集合$\{\}$は順序数である。そこでこれを$0$と書く。

後続数

順序数$\alpha$に対して $$ S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\} $$ を$\alpha$の後続数という。

後続順序数

順序数$\alpha$に対して、$\alpha = S(\beta)$となるような順序数$\beta$が存在するとき$\alpha$を後続順序数という。

自然数

順序数$\alpha$は、$\alpha$以下の任意の順序数$\beta \ne 0$が後続順序数であるとき自然数と呼ぶ。

参考文献

  1. Kenneth Kunen (1980) Set Theory - An introduction to independence proofs, North Holland

コメント

自然数とは有限の順序数である、という定義だと有限集合の定義と循環してしまうよなーと思って調べました。

自然数とは$\omega$より小さい順序数である、$\omega$とは($0$を除いて)最小の極限順序数である、という定義でもよさそうですね。