2020-04-18

順極限ℝ^∞とdominating number

位相空間の順系 ${\{\mathbb{R}^n\}_{n\in\mathbb{N}}}$ の順極限 ${\mathbb{R}^\infty}$ を考えよう．

つまり， ${n \le m}$ に対し，

${i_{nm}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n, \underbrace{0, \dots, 0}_\text{$m - n$個})}$

により， ${\{\mathbb{R}^n\}_{n\in\mathbb{N}}}$ は順系をなすので，この順極限を ${\mathbb{R}^\infty}$ とする．

この空間は幾何学においてグラスマン多様体やそのバンドルを考えるときなどに登場し重要な役割を果たす．

実はこの空間の指標 ${\chi(\mathbb{R}^\infty)}$ がdominating numberと呼ばれる基数 ${\mathfrak{d}}$ になっている．指標とは位相空間の各点の近傍基の最小のサイズの上限である．たとえば位相空間が第一可算ならば指標は ${\aleph_0}$ である． dominating number ${\mathfrak{d}}$ は基数不変量と呼ばれるものの一つで， ${\aleph_1}$ 以上 ${2^{\aleph_0}}$ 以下なことは分かっているが，具体的な値はZFCでは定まらない．そのような基数が，幾何学で自然に登場する空間の自然な不変量の値として現れるのはなかなか面白い．

この記事では ${\chi(\mathbb{R}^\infty) = \mathfrak{d}}$ の証明を目標としよう．

${\mathfrak{d}}$ について

${\mathbb{N}}$ から ${\mathbb{N}}$ への写像の集合 ${D}$ がdominating setとは

${\forall f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \exists g \in D, \forall n \in \mathbb{N}, f(n) \le g(n)}$

を満たすことと定める． dominating number ${\mathfrak{d}}$ は次で定義される:

${\mathfrak{d} = \min \{|D| : D \subset \mathbb{N}^\mathbb{N}, \text{$D$はdominating}. \}}$

${\mathbb{N}^\mathbb{N}}$ の濃度が連続体なので， ${\mathfrak{d} \le 2^{\aleph_0}}$ は明らか． ${\mathfrak{d}}$ が ${\aleph_1}$ 以上なことは対角線論法で示せる．実際，可算なdominating set ${D \subset \mathbb{N}^\mathbb{N}}$ があったとしよう． ${D = \{ f_i : i \in \mathbb{N} \}}$ とする． ${f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ を次で定める．

${f(n) = \max\{f_i(n) : i \le n\} + 1.}$

このときどんな ${i}$ についても ${f_i(i) \lt f(i)}$ である．これは ${D}$ がdominating setであることに矛盾している．

${\mathfrak{d}}$ が ${\aleph_1}$ 以上 ${2^{\aleph_0}}$ 以下なことはわかったが，具体的な値はZFCでは決定できない．実際，強制法により ${\mathfrak{d}}$ の値は割と自由に動かせる．たとえば， ${\mathfrak{d} = \aleph_{2020}, 2^{\aleph_0} = \aleph_{11922960}}$ であるZFCのモデルを得ることができる ( ${2020, 11922960}$ は好きな ${1}$ 以上の自然数に変更可能)．

${\mathbb{R}^\infty}$ について

${\mathbb{R}^\infty}$ は順極限により定義したが，この定義のままでは使いづらい．そこで具体的な集合とその上の位相により ${\mathbb{R}^\infty}$ を構成する．

まず

${X = \{ x \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : \text{有限個を除く全ての$n$で$x(n) = 0$} \}}$

とおき， ${X}$ 上の位相を次で定める．

${\text{$U \subset X$が開集合} \iff \text{任意の自然数$n$について$U \cap \mathbb{R}^n$が$\mathbb{R}^n$の開集合}}$

このときこの位相空間 ${X}$ が順極限 ${\mathbb{R}^\infty}$ になっている．これは普遍性を地道に確かめればよい．

以後 ${\mathbb{R}^\infty}$ と書いたら，ここで構成したものとする．

${\chi(\mathbb{R}^\infty) = \mathfrak{d}}$ の証明

${\mathbb{R}^\infty}$ において平行移動は同相写像であるので，どの点で考えても近傍基のサイズは変わらない．そこで ${0}$ の近傍基のサイズを考える．

${\mathfrak{d} \le \chi(0, \mathbb{R}^\infty)}$ について． ${\mathcal{U}}$ を ${0 \in \mathbb{R}^\infty}$ の近傍基とする．自然数の列 ${(x_n)_{n \in \mathbb{N}}}$ に対して，

${U=( (-1/x(1), 1/x(1) )\times(-1/x(2), 1/x(2) )\times\dots) \cap \mathbb{R}^\infty}$

とおくと，上の注意より ${\mathbb{R}^\infty}$ の開集合であり ${0}$ を含む．よって， ${\mathcal{U}}$ が ${0}$ の近傍基なことから ${V \in \mathcal{U}}$ で， ${V \subset U}$ なものがとれる．

こうしてとれた ${V}$ に対して次のように自然数列 ${(y_n)_{n \in \mathbb{N}}}$ を定める．

${V \cap \mathbb{R}^n}$ が ${0}$ を含む ${\mathbb{R}^n}$ の開集合なことから ${(\underbrace{0, \dots, 0}_{\text{$n-1$ times}}, 1 / y(n)) \in V \cap \mathbb{R}^n}$ なる ${y(n) \in \mathbb{N}}$ をとる．すると， ${V \subset U}$ より ${y(n) > x(n)}$ である．上の ${V}$ から数列 ${y}$ をとる操作を選択公理により固定しておいて， ${y_V}$ と書こう．

するとどんな自然数列 ${(x(n))_{n \in \mathbb{N}}}$ に対しても， ${V \in \mathcal{U}}$ が存在して，すべての自然数 ${n}$ で ${x(n) \lt y_V(n)}$ ．よって ${\{y_V : V \in \mathcal{U} \}}$ が自然数列の全体をdominateしている．したがって， ${\mathfrak{d} \le |\mathcal{U}|}$ である．

逆向きの不等号 ${\chi(0, \mathbb{R}^\infty) \le \mathfrak{d}}$ を示す． dominating set ${D \subset \mathbb{N}^\mathbb{N}}$ であって， ${|D| = \mathfrak{d}}$ なものをとる．各 ${x: \mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ に対し，

${U_x=( (-1/x(1), 1/x(1) )\times(-1/x(2), 1/x(2) )\times\dots) \cap \mathbb{R}^\infty}$

とおき， ${\mathcal{U} = \{U_x : x \in D \}}$ を考える． ${\mathcal{U}}$ が ${0}$ の近傍基なことを示す． ${U}$ を ${0}$ の近傍とする．すると各 ${n}$ について ${U \cap \mathbb{R}^n}$ は ${\mathbb{R}^n}$ 内の ${0}$ の近傍．よって十分小さく正の実数 ${\varepsilon_n > 0}$ をとることで， ${(-\varepsilon_n, \varepsilon_n)^n \subset U \cap \mathbb{R}^n}$ となる． ${1/x_n \lt \varepsilon_n}$ となる自然数 ${x_n}$ をとる．そして， ${D}$ がdominatingなのですべての ${n}$ で ${x_n \le y(n)}$ となる ${y \in D}$ をとれる．このとき ${U_y \subset U}$ となる．したがって， ${\mathcal{U}}$ が ${0}$ の近傍基である．よって， ${\chi(0, \mathbb{R}^\infty) \le \mathfrak{d}}$ が示せた．

補足

${\mathbb{R}^\infty}$ は直積空間 ${\mathbb{R}^\mathbb{N}}$ の部分空間 ${X = \{ x \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : \text{有限個を除く全ての$n$で$x(n) = 0$} \}}$ とは同相ではない．これは上で証明したことから分かる．なぜなら， ${\mathbb{R}^\mathbb{N}}$ は第二可算なのでその部分空間も第二可算．しかし， ${\mathbb{R}^\infty}$ は指標が非可算なことを示したので第一可算ですらない．

参考文献

functional analysis - Inductive Limit Topology and First Countability - Mathematics Stack Exchange

2020-04-16

4月前半振り返り

星取表: f:id:fujidig:20200416151159p:plain

やはりしんどい日が多い。特に4月3日と4月11日は一日中寝込んでいた。
Kunen "Random and Cohen Reals" ゼミを終える。最終回 (4/12)は画質の関係でzoomのオンラインホワイトボードを使ってやった。
Baumgartner "Iterated Forcing" を読んでいて、P ⊗ \dot{Q}がまず集合になっているのか分からんとぼやいていたら、TwitterでGapさんとBannoさんに教えて頂いた。教えていただいた渕野先生の講義ノートはとても参考になりそう。

Iterated Forcing、まずこのテンソル積みたいなやつ(P ⊗ \dot{Q})が集合になってくれるのか？ってところでうんうん唸っていたのだが、Kunenを見たら第二成分をdom(\dot{Q})に制限していた。
— でぃぐ (@fujidig) 2020年4月8日

4月10日は大学院新入生のガイダンスがあり、その後指導教員に会った。
- ガイダンスは15分ほどで終了した。終了後、学生証をもらった
- 指導教員に会って、研究科で学生に貸与しているノートPCをもらう。
- 院生室の鍵ももらった。院生室をKhr研の学生と同じ部屋に変えてもらうことができた。

大学から貸与されたMacBookです… pic.twitter.com/i0qzFmaOVw
— でぃぐ (@fujidig) 2020年4月10日

Descriptive Set Theoryの演習問題解きを再開した。
その中で解決できなかった問題をmathoverflowに投稿したら一瞬で回答が返ってきた。すごい
- ただしmathoverflowは専門家向けのフォーラムだったみたいでMath Stack Exchangeを使うのが正解だったみたいだ。今後そうする。
- 連続微分できるというのを積分の言葉で書けるの天才か？となった
- Minkowskiのクエスチョンマーク関数という面白い関数も初めて知った

mathoverflow.net

4月15日、あまりに勉強のやる気の出なさに回文を大量に作る遊びをしていた。いくつか抜粋して以下に載せる。
確率ももつリクか (かくりつももつりくか)

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ソラくん暮らそ (そらくんくらそ)
英語もごもご言え (えいごもごもごいえ)
ネス、オートマトンと的を推すね (ねすおおとまとんとまとをおすね)

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志位断言現代史 (しいだんげんげんだいし)
グラフ理論ロリフラグ (ぐらふりろんろりふらぐ)

2020-04-05

固定した無限集合に入るコンパクトハウスドルフな位相はいくつ？

固定した無限集合に入る位相はいくつあるか？ - 理科で証明を残していた定理を証明しよう。

主張

この記事では以下を証明する．

定理A: 可算集合 $X$ を固定したとき， $X$ に入るコンパクトハウスドルフな位相は(同相を同一視せずに)ちょうど $2^{\aleph_0}$ 個ある．

定理B: 可算コンパクトハウスドルフ空間は(同相を同一視して)ちょうど $\aleph_1$ 個ある．

定理C: $\kappa$ を非可算基数とする．このとき濃度 $\kappa$ のコンパクトハウスドルフ空間は(同相を同一視して)少なくとも $2^\kappa$ 個ある．したがって，前の記事の結果と合わせて，ちょうど $2^\kappa$ 個ある．

定理Cの証明は[2]のEric Wofseyによるものである．

順序位相について

この記事では順序数に順序位相を入れて、位相空間と考える．

定理Aの証明

定理A: 可算集合 $X$ を固定したとき， $X$ に入るコンパクトハウスドルフな位相は(同相を同一視せずに)ちょうど $2^{\aleph_0}$ 個ある．

前の記事から，個数が $2^{\aleph_0}$ 以下であることはわかっている． $\omega^2+1$ は可算なコンパクトハウスドルフ空間であるが，これと同相な $\omega$ への位相の入れ方がすでに $2^{\aleph_0}$ 個あることを示そう．

$\omega^2+1$ は孤立点と集積点がともに可算無限個ある．そこで， $\omega$ の無限かつ補集合も無限な部分集合 $A$ を考え， $A$ の点を $\omega^2+1$ の孤立点， $A$ に属さない点を $\omega^2+1$ の集積点に写す全単射 $f$ をとる．そこで $\omega^2+1$ に入っている位相の $f$ による引き戻しを考える．これは $\omega$ 上のコンパクトハウスドルフな位相であり， $A$ を変えるごとに異なる位相になる(当然，ここでの「異なる」は同相ではなく同等の意味での異なるである)．実際，この空間の孤立点集合を考えれば， $A$ が復元できるからだ． $\omega$ の無限かつ補集合も無限な部分集合は $2^{\aleph_0}$ 個あるため，結局 $\omega^2+1$ と同相な $\omega$ への位相の入れ方が $2^{\aleph_0}$ 個ある．

定理Bの証明

定理B: 可算コンパクトハウスドルフ空間は(同相を同一視して)ちょうど $\aleph_1$ 個ある．

たかだか $\aleph_1$ であることは次の定理より分かるが，この記事では証明しない．

Mazurkiewicz-Sierpińskiの定理: 可算コンパクトハウスドルフ空間はすべて可算後続順序数と同相である．

ここから少なくとも $\aleph_1$ 個あることを示そう．定理Aの証明でも孤立点・集積点に注目したが，その考え方をもっと進めることにより，Cantor-Bendixson rankという位相不変量を定義できる．

定義. $X$ を位相空間， $A$ を $X$ の閉集合としたとき， $A$ の集積点全体を $D(A)$ と書く．また， $X$ の閉集合 $A$ と順序数 $\alpha$ について $D^\alpha(A)$ を次の再帰で定義する．

$D^0(A) = A$ .
$D^{\alpha+1}(A) = D(D^\alpha(A))$ .
$D^{\alpha}(A) = \bigcap_{\beta < \alpha} D^\beta(A)$ ( $\alpha$ が極限順序数のとき).

$D^\alpha(X) = D^{\alpha+1}(X)$ となる最小の順序数 $\alpha$ を空間 $X$ のCantor-Bendixson rankという．

Cantor-Bendixson rankは位相不変量である．

Cantor-Bendixson rankの例を出す． $\omega+1$ は一度 $D$ をとると $\{\omega\}$ になり， $D^2$ は $\emptyset$ ， $D^3$ も $\emptyset$ なので， $\omega+1$ のCantor-Bendixson rankは $2$ である． $\omega^2+1$ は一度 $D$ をとると $\{\omega, \omega \cdot 2, \omega \cdot 3, \dots, \omega^2 \}$ になり， $D^2$ は $\{\omega^2\}$ ， $D^3$ は $\emptyset$ なので， $\omega^2+1$ のCantor-Bendixson rankは $3$ である．一般に $\omega^\alpha+1$ のCantor-Bendixson rankは $\alpha+1$ なことが示せる．

ところが，Cantor-Bendixson rankが位相不変量だったことを思い出すと， $\omega^\alpha+1\ (1 \le \alpha \lt \omega_1)$ たちは互いに同相でない可算コンパクトハウスドルフ空間である．これで可算コンパクトハウスドルフ空間は(同相を同一視して)少なくとも $\aleph_1$ 個あることがわかった．

定理Cの証明のための準備

定理Cの証明のための準備を二つしよう．

まず位相空間の点に対してCantor-Bendixson rankを定義する．これは位相空間 $X$ の点 $x$ について， $x \not \in D^\alpha(X)$ となる最小の $\alpha$ を点 $x$ のCantor-Bendixson rankと呼び， $\operatorname{cbrk}(x)$ と書く． $X$ が順序数で， $\omega^\alpha \in X$ のとき $\omega^\alpha$ のCantor-Bendixson rankは $\alpha+1$ である．

次に位相空間 $X$ の点 $x$ に対して，その共終数を定める．無限正則基数 $\lambda$ が $x$ の共終数であるとは，連続な単射 $f: \lambda + 1 \to X$ が存在して， $f(\lambda) = x$ となることとする．一般には点 $x$ に対し共終数は一意に定まらない (実際，共終数が2個ある点をうまく利用して定理Cを証明する)．ただし， $X$ が順序数で $\gamma \in X$ が極限順序数のときは共終数は一意に定まり，通常定義される意味での共終数と一致する．

定理Cの証明

$S$ を順序数の集合とする． $\alpha = (\sup S) + 1$ とおく．

$L_S = \{ (\beta, n) \in \alpha\times(\omega+1) : \beta \in S \lor n = \omega \}$

とおく． $L_S$ には， $\alpha$ に通常の順序数の順序， $\omega+1$ には通常の順序とは逆の順序を入れ，その辞書式順序を入れる．

つまり，

$(\beta, n) \le (\beta', n') \iff \beta < \beta' \lor (\beta = \beta' \land n \ge n')$

とする．

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$L_S$ は直観的には $\alpha$ の中の各 $\beta \in S$ について $\beta$ と $\beta+1$ の間に自然数全体を逆向きにしたものを挿入して得られる全順序集合である．(上の図は2次元で描いたが、これを1次元に折りたたんだものを想像すればよい)．

$\begin{align} (\alpha)\times(\omega+1) \setminus L_S &= \{ (\beta, n) : \beta \not \in S \land n < \omega \} \\ &= \bigcup_{\beta \in \alpha \setminus S} ( (\beta, \omega), (\beta + 1, \omega)) \end{align}$

であるため， $(\alpha)\times(\omega+1) \setminus L_S$ は開集合，よって， $L_S$ は $\alpha\times(\omega+1)$ の閉集合である． $\alpha\times(\omega+1)$ がコンパクトなので， $L_S$ もコンパクトである．全順序集合は最初からハウスドルフなので， $L_S$ はコンパクトハウスドルフ空間である．

$T$ を次の性質(*)を満たす順序数の集合とする．

$T$ の濃度は $\kappa$ .
任意の $T$ の要素 $\alpha$ についても $|\alpha| = \kappa$ かつ $\operatorname{cf}(\alpha) \ge \omega_1$ .

このような $T$ は $2^\kappa$ 個ある (ここに $\kappa$ の非可算性を使う)．これには， $|\alpha| = \kappa$ かつ $\operatorname{cf}(\alpha) \ge \omega_1$ なる $\alpha$ が $\kappa^+$ 個あることを言えば十分．実は， $|\alpha| = \kappa$ かつ $\operatorname{cf}(\alpha) = \omega_1$ と限定しても $\kappa^+$ 個あることが示せるのでそれを示す． $|\alpha| = \kappa$ は $\kappa \le \alpha \lt \kappa^+$ と同値．そこで，共終数が $\omega_1$ な $\alpha$ が $\kappa^+$ 内で非有界にあることを言えばよい ( $\kappa^+$ が正則なので)．そこで $\alpha \lt \kappa^+$ を任意にとり， $\beta = \alpha + \omega_1$ を考えれば， $\beta$ の共終数は $\omega_1$ で $\alpha \le \beta \lt \kappa^+$ を満たす．よってOK．(実は正則基数 $\lambda, \mu$ で $\omega \le \lambda \lt \mu$ なるものに対して共終数が $\lambda$ な順序数は $\mu$ 未満で定常集合になっていることが言えるが今回はそこまで要らない)．

$S(T) = \{ \omega^\alpha : \alpha \in T \}$

とおく．

このとき(*)を満たすTについて， $L_{S(T)}$ は濃度 $\kappa$ のコンパクトハウスドルフ空間であり，異なる $T$ を与えるごとに同相でない $L_{S(T)}$ を得る．

よって，濃度 $\kappa$ のコンパクトハウスドルフ空間は(同相を同一視して)少なくとも $2^\kappa$ 個あることがわかる．

異なる $T$ を与えるごとに同相でない $L_{S(T)}$ を得ることを示すためには， $L_{S(T)}$ の位相構造のみを使って， $T$ を復元できればよい．

実際，次のように $T$ を復元できる．

$T = \{ a \in \mathrm{On} : \text{$x \in L_{S(T)}$が存在して$\operatorname{cbrk}(x) = \alpha+1$かつ$x$の共終数が二つ以上ある} \}$

実際， $\alpha \in T$ なら， $L_{S(T)}$ の点 $(\omega^\alpha, \omega)$ の共終数は二つある． $\omega^\alpha$ の上に生やした逆向きの自然数全体を降りていけば， $\omega$ は共終数であるし，順序数 $\omega^\alpha$ の共終な列で下から昇っていけば $\operatorname{cf}(\omega^\alpha) = \operatorname{cf}(\alpha)$ も共終数である． $T$ の性質より後者は $\omega_1$ 以上である． $(\omega^\alpha, \omega)\ (\alpha \in T)$ 以外の点は共終数はたかだか1つなので，よって上の等式を得る．

参考文献

2020-03-31

3月後半の振り返り

3月前半はこちら: 3月前半の振り返り - 理科

星取表 f:id:fujidig:20200331212314p:plain

Kunenの「Random and Cohen Reals」を読むSkypeゼミ
- 3月18日に第3回。meagerイデアルの絶対性をやって、強制法の節に入り始めた。

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もちもちのナーン氏が企画の卒業記念セミナーに参加（3月20日および21日 at 東工大)。
- 僕は「ベキ級数の収束円の境界はどれくらい複雑になるか？」「Set Theoretic Proof of Arhangelskii's Theorem」「無限ラムゼー⇒有限ラムゼー」を話した。
- 徹夜のセミナーで疲れたので、翌日はずっと寝ていた。
学位記が到着 (3月28日)。学類長賞なるものを頂いた。これはうれしい。

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AtCoder Beginner Contest 160に参加 (3月28日)。A問題からD問題まで4問解けた。E問題は解法を聞いてシンプルだったので解けなくて残念。
Twitterの会話に触発されて「固定した無限集合に入る位相はいくつあるか？」という記事を書いた (3月30日)。結構反響があってうれしい。
- 固定した無限集合に入る位相はいくつあるか？ - 理科
- 間違いが1箇所あるのと書き終えていない部分があるのでそのうち修正と追記をする。
7月に参加する予定だった海外の某サマースクールはキャンセルになった。残念。英会話スクールにも通い始めたきっかけがこれだったが、まあスクールは通い続ける予定。

2020-03-30

固定した無限集合に入る位相はいくつあるか？

集合 ${X}$ を固定する。このとき、 ${X}$ に入る位相の個数、すなわち ${(X, \mathcal{O})}$ を位相空間にするような位相 (開集合系) ${\mathcal{O}}$ はいくつあるかという問題を考える。ただし、同相なものの同一視は行わない。

たとえば、 $X = \{0, 1\}$ のとき開集合系は

$\{ \emptyset, X \}$
$\{ \emptyset, \{0\}, X \}$
$\{ \emptyset, \{1\}, X \}$
$\{ \emptyset, \{0\}, \{1\}, X \}$

の4個ある。

${X}$ が濃度 ${n}$ の有限集合のとき、その上の位相の数の ${n}$ に関するかんたんな式は見つかっていない。しかし、 ${n}$ が小さいときの値は具体的に求められていて、小さい順に次のようになっている。

1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, 63260289423, …

この数列はOEISに登録されている。以下を参照。

http://oeis.org/A000798

さて、この記事では有限ではなく無限の場合を考えよう。ある意味では無限の方が簡単である。

固定した無限集合に入る位相の個数

定理1: 無限集合 ${X}$ を固定する。このとき ${X}$ に入る位相の数は ${2^{2^{|X|}}}$ である。

次の事実を認める。

事実1: 無限集合 ${X}$ を固定する。このとき ${X}$ 上のウルトラフィルタ―の個数は ${2^{2^{|X|}}}$ である。

定理1の証明: まず、 ${X}$ 上の位相は ${X}$ のべき集合の部分集合なのだから、その数は ${2^{2^{|X|}}}$ で抑えられる。 ${2^{2^{|X|}}}$ 個の位相があることを示そう。

${X}$ 上のフィルタ― ${U}$ に対して、 ${U \cup \{\emptyset\}}$ は開集合系になる。なぜなら、フィルタ― ${U}$ の上方閉性より開集合の任意個の和集合は開集合であり、フィルター ${U}$ の有限個の共通部分で閉じる性質より有限個の開集合の共通部分が開集合になるから。よって事実より、 ${X}$ に入る位相の数は ${2^{2^{|X|}}}$ である。 □

固定した無限集合に入るハウスドルフ位相の個数

上で定まる位相はハウスドルフでない。実際、2個の空でない開集合は必ず交わる。ならば、ハウスドルフに限定したときはいくつあるだろう？次の定理がその疑問に答える。

定理2: 無限集合 ${X}$ を固定する。このとき ${X}$ に入るハウスドルフ位相の数は ${2^{2^{|X|}}}$ である。

定理2の証明。 ${X}$ に属さない元 ${\infty}$ をとり ${Y = X \cup \{ \infty \}}$ とおく。 ${U}$ を ${X}$ 上の非単項ウルトラフィルタ―とする。このとき ${Y}$ に次で位相を入れる。

${\infty}$ 以外の元は孤立点にする。
${\infty}$ はその近傍全体を ${A \cup \{ \infty \}}$ ( ${A \in U}$ )の形の集合全体とする。

これは近傍系の公理を満たしていてハウスドルフなことは容易に分かる。非単項性がハウスドルフ性に効いている。また、 ${X}$ 上のウルトラフィルタ―から ${Y}$ 上の上記の位相を作る対応は( ${\infty}$ の近傍系を見れば復元できるので)単射である。したがって、 ${Y}$ 上のハウスドルフ位相は事実1より ${2^{2^{|X|}}}$ 個ある。

${Y}$ は無限集合 ${X}$ に一点付け加えただけなので ${X}$ と ${Y}$ の濃度は変わらない。よって ${X}$ 上のハウスドルフ位相の個数も ${2^{2^{|X|}}}$ 個である。 □

固定した無限集合に入るコンパクトハウスドルフ位相の個数

コンパクトハウスドルフ空間に限定した場合はいくつあるだろう？その答えは次である。

定理3: 無限集合 ${X}$ を固定する。このとき ${X}$ に入るコンパクトハウスドルフ位相の数は ${2^{|X|}}$ である。

これは次を証明すれば十分である。

定理3': ${\kappa}$ を非可算無限基数とする。 ${|X| = \kappa}$ なるコンパクトハウスドルフ空間 ${(X, \mathcal{O})}$ の個数は同相なものを同一視して ${2^\kappa}$ 個である。可算コンパクトハウスドルフ空間の個数は同相なものを同一視して $\omega_1$ 個である。

${\kappa}$ が可算の場合は、次の記事で扱うことにして、ここからは ${\kappa}$ を非可算と仮定する。

定理3'を示せば十分なこと) 定理3のためにはじめから ${X = \kappa}$ としてよい。 ${\kappa}$ から ${\kappa}$ の全単射の個数は ${2^\kappa}$ である。よって、 ${\kappa}$ 上のコンパクトハウスドルフな位相の同相類の個数が ${2^\kappa}$ であれば、 ${\kappa}$ 上のコンパクトハウスドルフな位相の(同相の同一視をしない)数は ${2^\kappa \times 2^\kappa = 2^\kappa}$ で抑えられる。なぜならば、各同相類の代表元 $(\kappa, \mathcal{O})$ と $\kappa$ 上の全単射 $f$ を考えて、 $f$ による $\mathcal{O}$ の押し出し (あるいは引き戻し、どちらでもよい)全体を考えれば、それは ${\kappa}$ 上のコンパクトハウスドルフな位相全体を走るからである。また、 ${\kappa}$ 上のコンパクトハウスドルフな位相の(同相の同一視をしない)数は(同相の同一視をしても ${2^\kappa}$ あるのだから) ${2^\kappa}$ 以上なこともすぐ分かる。

したがって、これより定理3'を示す。

まず、同相類の個数がたかだか ${2^\kappa}$ であることを示そう。

補題1: ${X}$ が濃度 ${\kappa}$ のコンパクトハウスドルフ空間ならば各点は濃度 ${\kappa}$ 以下の近傍基を持つ。

${x \in X}$ を固定する。ハウスドルフ性より各点 ${y \in X \setminus \{ x \}}$ について交わらない開集合 ${U_y, V_y}$ があって ${x \in U_y, y \in V_y}$ . ${\mathcal{U} = \{ U_y : y \in X \setminus \{x\} \}}$ とおき、

${ \mathcal{B} = \{ \bigcap \mathcal{F} : \mathcal{F} \subset \mathcal{U} \land \text{$\mathcal{F}$は有限} \} }$

とおく。

このとき ${\mathcal{B}}$ は点 ${x}$ の近傍基である。実際、 ${U}$ を ${x}$ の開近傍とする。このとき、 ${\{ V_y : y \in X \setminus U \}}$ はコンパクト集合 ${X \setminus U}$ の開被覆なので、有限の ${F \subset X \setminus U}$ があり、 ${\{ V_y : y \in F \}}$ が ${X \setminus U}$ を覆う。したがって、 ${\bigcap_{y\in F} U_y \subset U}$ である。 //

補題1より ${X}$ は濃度 ${|X| \times \kappa = \kappa}$ の開基を持つ。各点の近傍基の貼り合わせで開基が作れるからだ。 ${X}$ はT3.5空間で濃度 ${\kappa}$ の開基を持つのでチコノフ立方体 ${[0, 1]^\kappa}$ に埋め込める。今、 ${[0, 1]^\kappa}$ は濃度 ${\kappa}$ の開基を持つ。これは、 $[0, 1$ ]は可算な開基を持つので、直積空間の開基の与え方から直接計算で分かる。ゆえに、 ${[0, 1]^\kappa}$ の開集合の個数は ${2^\kappa}$ 個だとわかる。よって、 ${[0, 1]^\kappa}$ の閉集合の個数も ${2^\kappa}$ . ${X}$ はそのような部分集合として埋め込まれているので、 ${X}$ の(同相を除いた)可能性は ${2^\kappa}$ 以下である。

$\kappa$ が非可算の場合の同相類の個数が少なくとも $2^\kappa$ であること、定理3'の $\kappa=\aleph_0$ の場合、および、定理3で ${X}$ が可算無限集合の場合の証明は次の記事に書くことにした。 (執筆中)

参考文献

なお、定理2の証明の細部はTwitterでジタさん (@fujitapiroc1964)に教えて頂いた。

2020-03-15

3月前半の振り返り

星取表： f:id:fujidig:20200315174237p:plain

全体的にしんどい日が多め。
3月1日に引っ越しをした。荷ほどき作業は思っていたより短く済んだ。
- 前住んでいたところよりコンビニは遠くなったが近くにある飲食店のバリエーションは増えた。大学までの道は結構坂道があって自転車で行くのはちょっとつらそうかも？
Kunenの「Random and Cohen Reals」を読むSkypeゼミを始めた。サクラくん (@1997_takahashi)に見てもらっている。ありがたいことだ。
- 3月4日に第1回。nullとmeagerの共通の性質をいくつか見る。2時間のつもりで準備したが3時間半かかってしまった。
- 3月11日に第2回。Baireコードとイデアルの絶対性について。
- meagerイデアルの絶対性が証明の行間が多くて苦労したが、なんとか埋めることができた。これは次回発表する。それにしても、昔に比べたらかなり数学書の行間を埋められるようになったのではないかと思う。
英会話スクールに通いだした。
- 通いだしたきっかけはまたそのうち書く。
- 今はネイティブの先生とのマンツーマンの指導を受けている。
- 3月中は時間が空いているので週2で通うことに。4月からは週1にする。
AtCoderのコンテストに参加 (2回)。
- 3月7日にAtCoder Beginner Contest 158。パフォーマンス1832。新レーティング1292。E問題について素数pが2または5のときの場合分けが必要なことに気づけたのでよかった。
- 3月14日にパナソニックプログラミングコンテスト2020。パフォーマンス693。新レーティング1243。AとCしか通せなかった…。Bはコーナーケース見落としでWA。DもWA。Eは貪欲法でやったら反例ある嘘解法だった。
Twitterのアイコンを変更。『この美術部には問題がある！』より内巻すばるくんを模写。勝手に眼鏡を付けてしまった。

入学関係の書類がまだ届いていない。ちょっと不安。明日大学に問い合わせる。

2020-02-03

ディオファントス方程式が整数解を持つことは任意の自然数nについてmod nの解を持つことと同値かどうか

整数係数多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ を使って書ける $x_1, \dots, x_n$ の方程式

$f(x_1, \dots, x_n) = 0$

をディオファントス方程式という。

ディオファントス方程式の例は $x^2 + y^2 = 25$ とか $x^3 + y^3 = z^3$ などがあげられる。

さて、ディオファントス方程式が整数解を持つならば、当然それを $\bmod n$ で射影すれば $\bmod n$ の解が得られる。逆に任意の正整数 $n$ について $\bmod n$ の解をもつならば整数解を持つだろうか？

これの答えはNoである。ディオファントス方程式であって任意の正整数 $n$ について $\bmod n$ の解をもつが、整数解を持たないものが存在する。

これの証明がいろいろあり、面白かったので紹介する。

解答5を除いてはnt.number theory - Diophantine equation with no integer solutions, but with solutions modulo every integer - MathOverflowによる。

解答1

$3x^3+4y^3+5z^3=0$ が反例。

これは $\mathbb{Q}$ 上に解を持たないが、 $\mathbb{R}$ と任意の $\mathbb{Q}_p$ に解を持つ3次形式として知られている。しかしその証明はあまり簡単ではないようだ。

解答2

$x^2+y^2+z^2+w^2=−1$ が反例。

まず、整数解を持たないのは明らか(任意の整数について左辺は $0$ 以上なので)。一方で任意の $n$ について4平方和定理より $x^2+y^2+z^2+w^2=n-1$ となる $x, y, z, w$ が存在する。よって両辺 $\bmod n$ をとって方程式の $\bmod n$ 解を得る。

解答3

$(x^2-2)(x^2-17)(x^2-34)=0$ が反例。

まず整数解を持たないのは、この実数解が $x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{17}, \pm \sqrt{34}$ で有理数でないことからわかる。

次に任意の素数 $p$ について $\bmod p$ で解を持つこと。これは平方剰余の理論からわかる。

$p$ が $2$ でも $17$ でもないとき。ルジャンドル記号の性質

$\displaystyle{\left(\frac{2}{p}\right) \left(\frac{17}{p}\right) = \left(\frac{34}{p}\right)}$

より $2$ と $17$ がともに平方非剰余なら34が平方剰余となる。よって $2, 17, 34$ のどれか一つは平方剰余なので $(x^2-2)(x^2-17)(x^2-34)\equiv 0 \pmod p$ は解を持つ。

$p=2$ の場合は $x=1$ が解。 $p=17$ の場合は方程式は $x^2=2$ となるが、これは第二補充法則より $\left(\frac{2}{17}\right)=1$ なので解あり。

次に任意の素数べき $p^e$ について $\bmod p^e$ で解を持つこと。これはヘンゼルの定理よりわかる。ただし、 $p=2$ のときは $f(x) = x^2-17$ の微分が $f'(x) = 2x \equiv 0 \pmod 2$ となってしまうので、 $x=1$ が $x^2-17 \equiv 0 \pmod 4$ の解であるところから始めなければいけない。

最後に一般の $n$ については中国剰余定理から $\bmod n$ の解の存在が分かる。

解答4

$x^2+23y^2=41$ が反例。

整数解を持たないことは $x^2 \ge 0$ より $y = 0, \pm 1$ とならないといけないことからわかる。

有理数解として $(x, y) = (1/3, 4/3)$ があるので $3$ 以外の素数べきの法について解が得られる。また、 $(x, y) = (9/4, 5/4)$ も解なので $2$ 以外の素数べきの法についても解が得られる。したがって任意の素数べきの法について解が得られるので中国剰余定理より任意の $n$ について $\bmod n$ の解が得られる。

解答5 (基礎論的解答)

$A = \{ f(x_1, \dots, x_k) \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] : \text{$f$は整数解を持つ} \}$

は計算可能でない集合であることが知られている(MRDP定理)。 $A$ は明らかに $\Sigma_1$ なため、 $\Pi_1$ でない。

一方で、任意のディオファントス方程式について整数解を持つこととすべての $n$ に対して $\bmod n$ 解を持つことが同値だったら

$A = \{ f(x_1, \dots, x_k) \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] : \forall n\in\mathbb{N}, \exists a\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^k, f(a) = 0 \pmod n \}$

と $A$ が $\Pi_1$ で書けてしまう。矛盾。

この解答だとMRDP定理という大道具を使うし、具体的な方程式が与えられない。

参考文献

nt.number theory - Diophantine equation with no integer solutions, but with solutions modulo every integer - MathOverflow
y., Hilbert の第 10 問題 http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/files/hilberts-tenth-problem.pdf
雪江明彦『整数論1 初等整数論からp進数へ』日本評論社

上にも述べたが解答5以外は[1]によるものである。 MRDP定理については[2]を参照せよ。平方剰余の理論やヘンゼルの補題は[3]を参照。