集合を固定する。 このとき、に入る位相の個数、すなわちを位相空間にするような位相 (開集合系)はいくつあるかという問題を考える。 ただし、同相なものの同一視は行わない。
たとえば、のとき開集合系は
の4個ある。
が濃度の有限集合のとき、その上の位相の数のに関するかんたんな式は見つかっていない。 しかし、が小さいときの値は具体的に求められていて、小さい順に次のようになっている。
1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, 63260289423, …
この数列はOEISに登録されている。以下を参照。
さて、この記事では有限ではなく無限の場合を考えよう。ある意味では無限の方が簡単である。
固定した無限集合に入る位相の個数
次の事実を認める。
定理1の証明: まず、上の位相はのべき集合の部分集合なのだから、その数はで抑えられる。 個の位相があることを示そう。
上のフィルタ―に対して、は開集合系になる。 なぜなら、フィルタ―の上方閉性より開集合の任意個の和集合は開集合であり、フィルターの有限個の共通部分で閉じる性質より有限個の開集合の共通部分が開集合になるから。 よって事実より、に入る位相の数はである。 □
固定した無限集合に入るハウスドルフ位相の個数
上で定まる位相はハウスドルフでない。実際、2個の空でない開集合は必ず交わる。 ならば、ハウスドルフに限定したときはいくつあるだろう? 次の定理がその疑問に答える。
定理2の証明。 に属さない元をとりとおく。 を上の非単項ウルトラフィルタ―とする。 このときに次で位相を入れる。
- 以外の元は孤立点にする。
- はその近傍全体を ()の形の集合全体とする。
これは近傍系の公理を満たしていてハウスドルフなことは容易に分かる。非単項性がハウスドルフ性に効いている。 また、上のウルトラフィルタ―から上の上記の位相を作る対応は(の近傍系を見れば復元できるので)単射である。 したがって、上のハウスドルフ位相は事実1より個ある。
は無限集合に一点付け加えただけなのでとの濃度は変わらない。 よって上のハウスドルフ位相の個数も個である。 □
固定した無限集合に入るコンパクトハウスドルフ位相の個数
コンパクトハウスドルフ空間に限定した場合はいくつあるだろう?その答えは次である。
これは次を証明すれば十分である。
が可算の場合は、次の記事で扱うことにして、ここからはを非可算と仮定する。
定理3'を示せば十分なこと) 定理3のためにはじめからとしてよい。 からの全単射の個数はである。 よって、上のコンパクトハウスドルフな位相の同相類の個数がであれば、上のコンパクトハウスドルフな位相の(同相の同一視をしない)数はで抑えられる。 なぜならば、各同相類の代表元と上の全単射を考えて、によるの押し出し (あるいは引き戻し、どちらでもよい)全体を考えれば、それは上のコンパクトハウスドルフな位相全体を走るからである。 また、上のコンパクトハウスドルフな位相の(同相の同一視をしない)数は(同相の同一視をしてもあるのだから)以上なこともすぐ分かる。
したがって、これより定理3'を示す。
まず、同相類の個数がたかだかであることを示そう。
を固定する。 ハウスドルフ性より各点について交わらない開集合があって. とおき、
とおく。
このときは点の近傍基である。 実際、をの開近傍とする。 このとき、はコンパクト集合の開被覆なので、有限のがあり、がを覆う。 したがって、である。 //
補題1よりは濃度の開基を持つ。各点の近傍基の貼り合わせで開基が作れるからだ。 はT3.5空間で濃度の開基を持つのでチコノフ立方体に埋め込める。 今、は濃度の開基を持つ。これは、]は可算な開基を持つので、直積空間の開基の与え方から直接計算で分かる。 ゆえに、の開集合の個数は個だとわかる。 よって、の閉集合の個数も. はそのような部分集合として埋め込まれているので、の(同相を除いた)可能性は以下である。
が非可算の場合の同相類の個数が少なくともであること、定理3'のの場合、および、定理3でが可算無限集合の場合の証明は次の記事に書くことにした。 (執筆中)
参考文献
- general topology - How many compact Hausdorff spaces are there of a given cardinality? - Mathematics Stack Exchange
- set theory - Cardinality of connected Hausdorff topologies - MathOverflow
なお、定理2の証明の細部はTwitterでジタさん (@fujitapiroc1964)に教えて頂いた。