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合成函数の極限

$\require{color}$

$\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} f(x) = b \end{eqnarray}$, $\begin{eqnarray}\lim_{y \to b} g(y) = c \end{eqnarray}$であっても、$\begin{eqnarray}\lim_{x \to a} g(f(x)) = b \end{eqnarray}$とは限らない。*1

  • 仮定($\lim_{x \to a} f(x) = b$をεδ論法で書いたもの)
    : $(\forall \epsilon_2 > 0)(\exists \epsilon_1 > 0)(\forall x)(0 < |x - a| < \epsilon_1 \implies \textcolor{red}{|f(x) - b| < \epsilon_2})$

  • 仮定($\lim_{y \to b} g(y) = c$をεδ論法で書いたもの)
    : $(\forall \epsilon_3 > 0)(\exists \epsilon_2 > 0)(\forall y)(\textcolor{blue}{0 < |y - b| < \epsilon_2} \implies |g(y) - c| < \epsilon_3)$

  • 導き出したいこと($\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$をεδ論法で書いたもの)
    : $(\forall \epsilon_3 > 0)(\exists \epsilon_1 > 0)(\forall x)(0 < |x - a| < \epsilon_1 \implies |g(f(x)) - c| < \epsilon_3)$

それは赤と青で示した部分での"$0 < $"の有無でギャップが出ているからだ。

もしここで($a$の十分小さな近傍内の$x$について)$x \ne a \implies f(x) \ne b$という仮定を付け加えると、①は次の①'に変わる。

  • ①': $(\forall \epsilon_2 > 0)(\exists \epsilon_1 > 0)(\forall x)(0 < |x - a| < \epsilon_1 \implies \textcolor{red}{0 < |f(x) - b| < \epsilon_2})$

するとギャップはなくなり、①', ②から目的の③は導かれる。

あるいは、$g$が$b$でも定義されていてしかも$g$が$b$で連続であったという仮定を付け加えた場合は、②は次の②'に変わる。

  • ②': $(\forall \epsilon_3 > 0)(\exists \epsilon_2 > 0)(\forall y)(\textcolor{blue}{|y - b| < \epsilon_2} \implies |g(y) - c| < \epsilon_3)$

この場合も同様ギャップはなくなって、①, ②'から③が導ける。

*1:この記事ではこのことの証明はしていません。証明するのであれば、そのような具体的な例を作る必要があります!