週刊 MAのモデルを作る #01 MAの応用

前回はMAの主張を紹介し,\mathrm{MA}(\aleph_0)が成り立ち,\mathrm{MA}(2^{\aleph_0})が成り立たないことを証明した. 今回は,MAの応用を2つ紹介する.

命題1
\mathrm{MA}(\kappa)を仮定する. このとき実数全体\mathbb{R}のどんな非空開集合も\mathbb{R}のnowhere dense集合の\kappa個の和集合では覆えない.

定義を復習すると位相空間の部分集合Aがnowhere denseとはAの閉包の内部が空なことであった. 直観的にはnowhere denseな集合というのはある意味で「とても小さい」集合である.そのような集合を少ない個数集めても非空開集合は覆えない,すなわち非空開集合は「小さくない」ということを主張している.命題1は\mathbb{R}に対するベールの範疇定理の一般化になっている.

実は次が言える.

命題2
\mathrm{MA}(\kappa)を仮定する. このとき任意のコンパクトハウスドルフcccな空間Xに対して,Xのどんな非空開集合もXのnowhere dense集合の\kappa個の和集合では覆えない.

なお位相空間Xがcccとは互いに交わりのない開集合の族が必ずたかだか可算になることを言う.これはXの開集合系\mathcal{O}_Xから空集合を除いて包含で順序を入れた半順序集合がcccなことと同値である.

\mathbb{R}はコンパクトでないので,命題2から直接は命題1は出てこないが,\mathbb{R}の一点コンパクト化\mathbb{R} \cup \{\infty\}に命題2を適用することはできて,そこから\mathbb{R}に対する主張も出る.よって命題2を示せばよい.

(2020/7/7 追記: 前回の半順序P_cを使っても命題1は証明できる.証明は以下の命題2と全く同様である)

命題2の証明. Xの非空開集合のなす半順序P = \mathcal{O}_X \setminus \{ \emptyset \}で包含で順序を入れたものを考える.上に述べた通り,これはcccな半順序である.

Oを与えられた非空開集合とする. またN_\alpha (\alpha \lt \kappa)Xの与えられたnowhere denseな閉集合とする. ON_\alphaたちで覆えないことを示そう.

\alpha \lt \kappaに対し

\displaystyle{
D_\alpha = \{ U \in P : \overline{U} \cap N_\alpha = \emptyset \}
}

とおく.

すると各D_\alphaPの稠密集合である. なぜならば,U \in Pとする.このときUが非空開集合でN_\alphaがnowhere dense閉集合なので,U \setminus N_\alphaは非空開集合である.コンパクトハウスドルフ空間は正則なので非空開集合Vをとって\overline{V} \subset U \setminus N_\alphaとできる.よってV \subset UかつV \in D_\alphaなのでよい.

そこでMAを使って,PのフィルターGでどのD_\alphaとも交わるものをとれる.

前回やったのと同じ議論により,Gは有限交差性を満たすので,Xのコンパクト性より

\displaystyle{
F = \bigcap_{U \in G} \overline{U}
}

とおくとF \ne \emptysetである. GD_\alphaが交わることよりF \cap N_\alpha = \emptysetが従う.よって,F \cap \bigcup_{\alpha \lt \kappa} N_\alpha = \emptyset. Fの点を一点とれば,Fの定義と正則性よりそれはOの点でもあるが,それは\bigcup_{\alpha \lt \kappa} N_\alphaの点ではない.よってON_\alphaたちで覆えない. □

さて,MAの応用をもう一つ紹介しよう.

命題3
\mathrm{MA}(\kappa)を仮定する. 自然数から自然数への関数の族\langle f_\alpha : \alpha \lt \kappa \rangle, 各f_\alphaf_\alpha: \omega \to \omegaなものに対して一個の関数g: \omega \to \omegaですべてのf_\alphaを抑えられる:

\displaystyle{
    \forall \alpha \lt \kappa\ \exists n_0 \in \omega\ \forall n \ge n_0\ (f_\alpha(n) \le g(n)).
    }

f:id:fujidig:20200707045618p:plain:w500

証明. この証明ではHechler強制という少しテクニカルな半順序を使う:

\displaystyle{
P = \{ (s, f) \in \omega^{\lt\omega} \times \omega^\omega : s \subset f \}.
}

順序は

\displaystyle{
(s,f) \le (t, g) \iff t \subset s \land \forall n \in \omega\ (g(n) \le f(n))
}

で定める.

たとえば

\begin{align*}
(t, g) &= ( (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots)) \\
(s, f) &= ( (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4, 50, 60, 70, 80, \dots))
\end{align*}

に対して(s,f) \le (t,g)が成り立つ.

まずPはcccである.実際,(s, f), (t, g) \in Ps = tを満たすとき,(s, f) \parallel (t, g)である.なぜならば,(s, \max\{f, g\}) \le (s, f), (s, g)だからである.ここに\max\{f, g\}(n) = \max\{f(n), g(n)\}.このことと\omega^{\lt\omega}が可算なことよりPはccc.

n \in \omegaに対して

\displaystyle{
E_n = \{ (s, f) \in P : n \in \operatorname{dom} s \}
}

とおく.また,g: \omega \to \omegaに対して

\displaystyle{
D_g = \{ (s, f) \in P : \forall n \ge |s|, g(n) \le f(n) \}
}

とおく.

E_nは稠密集合である.実際,(s, f) \in Pについてsの長さがすでにn以上ならそれでよくて,そうでなければ(f \upharpoonright n, f)(s, f)の拡大となるE_nの元である.

D_gは稠密集合である.実際,(s, f) \in Pとする. このとき(s, h)(s, f)の拡大となるD_gの元である.ここに

\displaystyle{
h(n) = \begin{cases}
s(n) & (n \lt |s|) \\
\max\{f(n), g(n)\} & (n \ge |s|).
\end{cases}
}

よってMAより,\{E_n : n \in \omega\} \cup \{D_{f_\alpha} : \alpha \lt \kappa\}のすべてのメンバーと交わるフィルターGがとれる.ここで

\displaystyle{
f_G = \bigcup \{s : (s,f)\in G\}
}

とおく.

まずf_Gは関数である.なぜならば関数でないとするとある(s,f), (t,g)\in Gがあってstが食い違っている.ところが,Gの有向性よりこれはありえない.

次に関数f_Gの定義域は\omegaである.実際,任意のnについてG \cap E_n \ne \emptysetなのでn \in \operatorname{dom} f_Gである.

最後にf_Gはすべてのf_\alphaを支配する.すなわち\forall \alpha \lt \kappa, \exists n_0 \in \omega, \forall n \ge n_0, f_\alpha(n) \le f_G(n)である. 実際,\alpha \lt \kappaとする. (s, f) \in G \cap D_{f_\alpha}をとる. n_0 = |s|とおく. n \ge n_0とする. G \cap E_n \ne \emptysetなので(t, g) \in G \cap E_nをとる. Gの有向性より(u, h) \le (s, f), (t, g)がとれる. するとn \in \operatorname{dom} u. すると

\displaystyle{
f_G(n) = u(n) = h(n) \ge f(n) > f_\alpha(n).
}

よって,

\displaystyle{
\forall n \ge n_0\ (f_G(n) > f_\alpha(n))
}

である. □

ところで命題1, 2, 3では\mathrm{MA}(\kappa)を仮定したが,\mathrm{MA}(\aleph_0)はZFCで証明できるのであった. 命題1, 2の\kappa = \aleph_0のときの主張はベールの範疇定理そのものである. また命題3の\kappa = \aleph_0のときの主張は対角線論法でかんたんに示すことができる. だから,面白いのは\kappa \ge \aleph_1のときであり,つまり連続体仮説が成り立っていないときである. たとえば,連続体濃度2^{\aleph_0}\aleph_{2020}であり,MAが成り立つとしよう (これはこのシリーズで今後示す通り無矛盾である). このときは\mathrm{MA}(\aleph_{2019})が成り立つ..よってこの仮定のもとで命題1, 2, 3は\kappa = \aleph_{2019}で成り立つのである.

さて,今回はMAの応用を述べた.次回から強制法の内容に入る予定である.

参考文献
  1. K. Kunen (2011) "Set Theory" College Publications
  2. 新井敏康 (2011) 『数学基礎論岩波書店

ベールの範疇定理の一般化の証明は1を,Hechler強制については2を参考にした.

週刊 MAのモデルを作る #00 MA (マーティンの公理)とは何か

このシリーズ「週刊 MAのモデルを作る」ではマーティンの公理のモデルを作ってその無矛盾性を示すことを目標にする.週刊と銘打ったが本当に毎週記事を出せるかは分からない.前提知識はZFCの公理,順序数,基数,累積階層程度に留めるつもりである.必要となる強制法の初歩は一連の記事の中で解説する.

マーティンの公理とは集合論における命題の一つである.それはZFCから証明も反証もできない. マーティンの公理は性質のよい半順序集合とその稠密集合の族で族のサイズが連続体濃度未満のものが任意に与えられたとき,その族のメンバーであるどの稠密集合とも交わるフィルタ―がとれることを主張する. その意味は定義だけ見ても理解しづらいが,この公理から興味深い命題が従う.以下がマーティンの公理から従う命題のうちのいくつかである.

  • 実数全体{\mathbb{R}}ルベーグ測度{0}集合が連続体濃度未満個与えられたとき,それらの和集合は測度{0}
  • 実数全体{\mathbb{R}}のmeager集合が連続体濃度未満個与えられたとき,それらの和集合はmeager.
  • Suslin木が存在しない.
  • 自然数から自然数への写像の族{\langle f_\alpha : \alpha \lt \kappa \rangle, \kappa \lt 2^{\aleph_0}}, 各{f_\alpha}{f_\alpha: \omega \to \omega}なものに対して一個の関数{g: \omega \to \omega}ですべての{f_\alpha}を抑えられる:

\forall \alpha \lt \kappa, \exists n_0 \in \omega, \forall n \ge n_0, f_\alpha(n) \le g(n).
  • 自由でないWhitehead群が存在する.
定義 1

{(P, \le)}を半順序集合とする.つまり{\le}{P}上の反射的,推移的関係とする.

{D \subset P}稠密であるとは任意の{p \in P}に対して{q \in D}が存在して{q \le p}を満たすこととする.

{G \subset P}フィルタ―であるとは次の2条件を満たすものを言う.

  • 任意の{p, q\in P}に対して,{q \le p}かつ{q \in G}なら{p \in G} ({G}は上に閉じている).
  • 任意の{p, q \in G}に対して,{r \in G}が存在して{r \le p, q} ({G}は有向).

{p, q \in P}に対して{p}{q}両立するとは{r \in P}が存在して{r \le p, q}となることとする.これを記号で{p \parallel q}と書く. {p}{q}が両立しないことを{p \perp q}と書く.

フィルタ―{G \subset P}と稠密集合の族{\{D_i : i \in I\}}に対して,{G}{\{D_i : i \in I\}}に関してジェネリックであるとは,すべての{i \in I}について


G \cap D_i \neq \emptyset

となることである.

例 2

例として,


P_c = \{ (a, b) : a, b \in \mathbb{Q}, a < b \}

を考える.ただし{(a, b)}は実数{\mathbb{R}}の中の開区間である. {P_c}を通常の包含{\subset}で順序付ける.

実数{x \in \mathbb{R}}に対して


G_x = \{ (a, b) \in P_c : x \in (a, b) \}

とおくと,{G_x}はフィルタ―である.

{p, q \in P_c}に対して{p, q}が両立するのは,{p \cap q \ne \emptyset}であるときである.

実数{x}に対して,


D_x = \{ (a, b) \in P_c : x \not \in [a, b] \}

は稠密集合である.

f:id:fujidig:20200702221353p:plain

また,正整数{n}に対して


E_n = \{ (a, b) \in P_c : b - a < \frac{1}{n} \}

も稠密集合である.

f:id:fujidig:20200702221405p:plain

実は次が言える.

主張: {P_c}のフィルタ―{G}{\{ D_x : x \in \mathbb{R} \} \cup \{ E_n : n \in \mathbb{Z}_{> 0} \}}に関してジェネリックなものは存在しない.

∵) {G}がそういうフィルタ―だとする. {G}は有限交叉性を満たす. なぜなら{G}から有限個メンバーをとってきて{(a_0, b_0), \dots, (a_n, b_n)}とする. このとき{G}の有向性よりどの{i \le n}についても{(a, b) \subset (a_i, b_i)}となる{(a, b) \in G}がとれる.すると{\emptyset \ne (a, b) \subset \bigcap_{i \lt n} (a_i, b_i)}なのでこれら有限個のメンバーは交わるからである.

さて,{G}{\mathbb{R}}有界区間の族で有限交叉性を満たすものなので,


\bigcap_{p \in G} \overline{p} \ne \emptyset

を満たす. ただし,{\overline{p}}{p \subset \mathbb{R}}の閉包である. 実は,{\bigcap_{p \in G} \overline{p}}は一点集合である.実際,2点{a, b}があるとしたら,その2点の距離{b - a}より{1/n}が小さくなるように正整数{n}をとる.すると仮定より{G \cap E_n \ne \emptyset}でないといけないが,これはどんな{p \in G}についても{p}の幅は{b - a}以上あることに矛盾している.

そこで{\{x\} = \bigcap_{p \in G} \overline{p}}としよう. 仮定より{G \cap D_x \neq \emptyset}でないといけないが,その元{(a, b)}をとると,{x \in [a, b]}かつ{x \not \in [a, b]}となって矛盾. //

ジェネリックフィルターという概念の解釈

上の証明を見ても分かる通り,この半順序集合{P_c}の元というのは一つの実数の近似だと思える.強制法やマーティンの公理のような強制法公理では半順序集合{P}は構成したいものを近似する元の集まりであり,{p, q \in P}に対して{p \le q}{p}の方が近似したいオブジェクトに対してより多くの情報を持っていると解釈する.そしてジェネリックフィルター (またはジェネリックフィルターから得られる実数などの対象)こそが構成したいオブジェクトである.

ジェネリックフィルターの条件をこの解釈に沿って読もう. {G}は上に閉じているという条件は{G}にある近似が入っていたら,それより情報量の少ない近似も入っているという条件である. {G}の有向性は,{G}に入っている2つの近似を貼り合わせられることを主張している.これは2つの近似が矛盾していないことを含意する.つまりフィルタ―とは貼り合わせられる近似元の集まりである.

{G}ジェネリック性,つまり多くの稠密集合と交わるというのは次のように解釈できる.まず,稠密集合$D$というのはどんな近似$p$も延長すれば$D$の元に入るのだから,$P$の元が持つ一つの一般的な性質を表している.そこで多くの稠密集合と交わるというのは,「近似元が持つ一般的な性質は$G$も満たしている」ということである.

定義3

{(P, \le)}を半順序集合とする.{A \subset P}が反鎖であるとは任意の異なる{p, q \in A}について{p \perp q}を満たすことをいう. {P}が可算鎖条件 (ccc; countable chain condition)を満たすとは,{P}の反鎖がどれもたかだか可算なことを言う.

定義4

{\kappa}を無限基数とする.{\mathrm{MA}(\kappa)}とは次の主張である: 任意のccc半順序{(P, \le)}{P}の稠密集合の族{\{D_\alpha : \alpha \lt \kappa\}}に対して,{P}のフィルター{G}であって,{\{D_\alpha : \alpha \lt \kappa\}}に関してジェネリックなものが存在する.

{\mathrm{MA}} (マーティンの公理)とは次の主張である: 任意の{\kappa \lt 2^{\aleph_0}}に対して{\mathrm{MA}(\kappa)}である.

命題5
  1. {\mathrm{MA}(2^{\aleph_0})}ではない.
  2. {\mathrm{MA}(\aleph_0)}である.

証明.実は,(1)は例 2ですでに示されている.この例の{P}{P}自体のサイズが可算なのでcccを満たすことに注意. (2)を示す.

{(P, \le)}を半順序,{\{D_n : n \in \omega\}}を稠密集合の可算族とする. {p \in P}をとる. {p_0 \in D_0}{p_0 \le p}となるようとる. 続いて{p_1 \in D_1}{p_1 \le p_0}となるようとる. 同様に{p_2 \in D_2}{p_2 \le p_1}となるようとる. 同じことを繰り返すことにより,{P}の元の下降列{(p_n : n \in \omega)}{p_n \in D_n}となるものがとれる.

f:id:fujidig:20200702221426p:plain

すると


G = \{ q \in P : \exists n \in \omega, p_n \le q \}

{\{D_n : n \in \omega\}}に関するジェネリックフィルターである. □

このシリーズの目標は{\mathrm{MA}}の無矛盾性を示すことである.ただし,連続体仮説{\mathrm{CH}}が成り立っている場合は{\mathrm{MA}}は形式上成り立つので,{\mathrm{MA} + \neg \mathrm{CH}}の無矛盾性を示す.

次回は{\mathrm{MA}}の応用を一つ述べよう.与えられた自然数から自然数への関数の族を一つの関数で抑えるという例を最初に挙げたが,それを扱う.

参考文献
  1. K. Kunen (2011) "Set Theory" College Publications
  2. 藤田博司 (2018) 『公理的集合論入門講義』
  3. 新井敏康 (2011) 『数学基礎論岩波書店
  4. 石井大海 (2016) 『Boole値モデルと強制法』 https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.pdf

全体を通して1を参考にした.2は数学カフェというイベントの原稿で公開されてはいない.しかし,本としていつか出版されるようである.Cohen強制を有理区間としての表現をするやり方を参考にした. ジェネリックフィルターの概念の解釈については3のと4を参考にした.

6月後半振り返り

星取表: f:id:fujidig:20200630224748p:plain

英会話スクールに行ったり歯医者に行ったりセミナー準備をしたり授業の課題をしたりでまあまあ忙しい。 でも院生室には平日毎日行って快適に過ごせているのでよい。

セミナーで読む本がAbrahamのProper Forcingというやたら行間がある本になったのでなかなか大変になった。

健康に気を付けて食べる量を減らすことにした。

  • 6月15日、AirPodsを注文。まあ便利。
  • 6月19日、Yasudaくんに貸してたCooper本を郵送で返してもらう。
  • 6月20日。名古屋の自主ゼミでOpen Coloring AxiomからCHの否定が出ることを示す。
  • 6月20日。(P(ω), ⊆)の鎖 (or 反鎖)は2^2^ωあるという話をしたら、Twitterで極大鎖 (or 反鎖)ならどうかと聞かれる。分からない。
  • 6月23日。精神科に行く→歯医者に行く→Minagawaくんに会う→英会話スクールに行くの4本立て。
  • 6月27日。また回文を作る遊びをしていた
    • 創意工夫言う福井ウソ (そういくふういうふくいうそ)
    • ワイかい英会話 (わいかいえいかいわ)
    • イタチうんちくワクチン打ちたい (いたちうんちくわくちんうちたい)
    • 新記録無事レジ袋禁止 (しんきろくぶじれじぶくろきんし)
    • 内科医スマホ麻酔かいな (ないかいすまほますいかいな)
    • おい早稲田大学外だ出せわいを (おいわせだだいがくがいだだせわいを)
    • 図説ツイートと言いつつせず (ずせつついいとといいつつせず)
    • このメンタル、カルタン目の子(このめんたるかるたんめのこ) (これは6月30日作成)

6月前半振り返り

星取表: f:id:fujidig:20200615175413p:plain

大学のコロナ警戒レベルが下がり、院生室に行けるようになった (ただ自分の机はまだ用意されていない)。また、K研のセミナーはオフラインで行われるようになった。

  • 6月1日。数理情報学基礎論概論1のレポートを提出。f(x)=x^2 + x + 41にxに0以上39以下の整数を入れたら素数が出ることを (−163/p)=1 (pは37以下の素数) に帰着させる話がレポ―トに出たのだが、これが成り立つのも不思議な話なので、2次体の整数論を使って証明を与えた。
  • 6月5日。研究室セミナー。BaumgartnerのGeneralized Martin's Axiomの節を読む。いろいろと記述が雑だった。わからなかった部分について先生から助言をもらう。セミナー後の夜、ヒントをもとに行間を埋めることができた。
  • 6月7日。院生室にて。 f:id:fujidig:20200614181703j:plain
  • 6月12日。研究室セミナー。前回の宿題として残った部分をやり、その後AbrahamのProper Forcingへ。quotient forcingがseparativeなことの証明を先生と一緒に悩む。
  • 6月13日。TwitterでOCAの話をしたら藤田先生にQi Fengの論文を教えて頂いた。集合論おもしろ~という感想とともにやっぱ僕は実数がらみの集合論が好きなのだなと再認識。

  • 6月14日。Abrahamの行間をいろいろ試行錯誤した。あとちょっとでうまくいきそうだけどまだ証明が完了しない状態。しかしいろいろ試行錯誤はしてみるものだ。

f:id:fujidig:20200614182442j:plain

  • トゥー多様体は§4、§6、§8を読んだ。接ベクトル・ベクトル場・微分形式は最初これの型なんだっけ?ってなりがちだけど徐々に慣れてきたかもしれない。そろそろ面白い内容に入りそう。
  • Sacksは1章の途中まで。順序数のコード上の足し算の定義でクリーネの再帰定理ってこうやって使うのかと思った。そういえば、constructive oridinals全体が下に閉じていることの証明をどうすればいいのか分からない。

5月後半振り返り

星取表: f:id:fujidig:20200531215532p:plain

最近は授業の課題が全然できていなくてまずいなと思っている…。

  • 5月22日。研究室ゼミでMAの無矛盾性を示す。筑波ゼミでminimal walkを使ったAronszajn treeの存在証明について話す。
  • 5月23日。運動エネルギーの極座標表示と球面振り子の運動方程式ラグランジアンを使った導出や、ラグランジアンを使った遠心力・コリオリ力の導出をやった。こういう計算は久しぶりだが、たまにやってみると良さを感じる。
  • 5月26日。数理物理の課題で最速降下線を求める問題をやる。オイラー方程式そのまま使ったらこんなん解けんやろっていう2階の非線形微分方程式になったけど、fがxを含まない場合はベルトラミ方程式という1階の方程式になって解きやすくなるっぽい
  • 5月26日と28日。プロメアと天気の子の映画を見る。良い作品だなあと思う。
  • 5月29日。研究室ゼミでKunen 7.6節のFn(I, J, λ)についての内容を話す。
    • 以前Twitterで2^{ω_ω}はでかすぎて分からないとつぶやいたことがあったのだが、2^ω = 2^{ω_{ω+1}} = ω_{ω+2}はありえて、特に2^{ω_ω}は連続体濃度と等しくなりえるんだなあということを思った

5月前半振り返り

星取表: f:id:fujidig:20200517115726p:plain

  • 5月2日。自主ゼミで無限集合に入る位相の数について話した。
  • 5月5日。研究室ゼミ。Baumgartnerの1節を読んだ。
  • 5月7日。Twitterでシュワルツ微分という名前が話題になっていたので、カントールの論文にあたるなどしていた。 (https://twitter.com/t_uda/status/1258378744474906626)
  • 5月8日。歯医者で虫歯の治療後、新屋さんのところで『組合せ数え上げとランダム写像の漸近解析』の単発ゼミ。Flajolet--Sedgewickのゼミしたいねという話になった f:id:fujidig:20200517121331p:plain
  • 5月12日。発表はまだだが、MAの無矛盾性の証明を追えた。反復強制を使ったMA (or SH)の無矛盾性証明の分かりやすい説明が書かれた文書:
  • 5月14日。C[0, 1]の素イデアルであって極大イデアルでないものの存在についてTwitterで話題になっていた。それ昔山内先生が授業でやっていたなあと思ってノートを掘り返した。Zorn補題を使っているので構成的ではない。もしかしたら選択公理なしには存在が言えないのかも?
  • 5月15日。研究室ゼミ。Baumgartnerの2節と3節のMA*⇒MAを読んだ。筑波の自主ゼミに参加。今回は誰も発表しなかった。
  • 5月16日。自主ゼミでマーティンの公理について話した。1回で終わらせるつもりだったが、Hechler強制について話す前に1時間半たったのでまた次回ということに。zoomの部屋を提供してくれているFさんがゼミの発表中非常に反応をしてくれて助かる

f:id:fujidig:20200517122646p:plain:w400 f:id:fujidig:20200517122700p:plain:w400

4月後半振り返り

星取表 f:id:fujidig:20200502202503p:plain