背景
微分積分学においてべき級数の収束半径というものがありますが、この求め方として次の二つがあります。
- (係数比判定法) $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = l$ が存在すればべき級数$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$の収束半径$\rho$は$\rho = 1/l$である
- (コーシー・アダマールの公式) べき級数$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$の収束半径$\rho$は常に$1/\rho = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$で与えられる
また、これに関連して、次が成立します。
問題
では逆に次は成立するのか、気になるのは当然のことです。
(1) $a_n \ge 0, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l$ ならば $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$
これについて考えます。
$a_n \ge 0$で $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l $$ と仮定します。 このとき、両辺の対数を取ると $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\log a_n}{n} = \log l $$ となります。 $b_n = \log a_n$, $k = \log l$とおきます。すると上の等式は $$ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = k $$ と書き換わります。
今考えているのは $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l $$ が成り立つかどうかですが、これは両辺の対数を取ることにより次と同値です。 $$ \lim_{n \to \infty} (\log a_{n+1} - \log a_n) = \log l $$ すなわち $$ \lim_{n \to \infty} (b_{n+1} - b_n) = k $$ です。 したがって、(1)は次の(2)に帰着されました。
(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = k$ ならば $\lim_{n \to \infty} (b_{n+1} - b_n) = k$
では(2)が成り立つか考えましょう。 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = k$ より、$\frac{b_n}{n} = k + c_n$とおくと、$c_n \to 0 (n \to \infty)$ です。 今考えていることは $$ \lim_{n \to \infty} (b_{n+1} - b_n) = k $$ が成り立つかどうかですが、これを$c_n$を使って書き換えると $$ \lim_{n \to \infty} [\{(n+1)k + (n+1)c_{n+1}\} - (nk - nc_n)] = k $$ です。$c_n \to 0 (n \to \infty)$であることに注意して書き直すと $$ \lim_{n \to \infty} n(c_{n+1} - c_n) = 0 $$ です。
したがって(2)は次の(3)に帰着されました。
(3) $\lim_{n \to \infty} c_n = 0$ ならば $\lim_{n \to \infty} n(c_{n+1} - c_n) = 0$
$d_n = c_{n+1} - c_n$とおくと、$c_n = c_0 + \sum_{i=0}^{n-1} d_i$です。 (3)の前件において$= 0$は重要ではなく、$c_n$が収束するという条件に置き換えてもかまいません。よって(3)は次の(4)と同値です。
(4) $\sum_{n = 1}^\infty d_n$ が収束するならば $\lim_{n \to \infty} nd_n = 0$
この(4)にはすぐ反例が見つかります。 $$ d_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$ です。 実際、無限級数 $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \cdots $$ は$\log 2$に収束することが知られています。
さて、振り返ってみましょう。我々は問題を次のように変形していきました。
- (1) $a_n \ge 0, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l$ ならば $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$
- (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = k$ ならば $\lim_{n \to \infty} (b_{n+1} - b_n) = k$
- (3) $\lim_{n \to \infty} c_n = 0$ ならば $\lim_{n \to \infty} n(c_{n+1} - c_n) = 0$
- (4) $\sum_{n = 1}^\infty d_n$ が収束するならば $\lim_{n \to \infty} nd_n = 0$
(4)に反例が見つかったので、結局(1)から(4)のどれもが成立しないことがわかりました。
(4)の反例$d_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$より、議論を逆向きにたどって(1)の反例を構成すると次のようになります。
$$ a_n = e^{n (1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k -1}}{k} - \log 2)} $$
これが本当に反例になっているのか確認しておきましょう。まず、
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} e^{1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k -1}}{k} - \log 2} = e $$ より$\sqrt[n]{a_n}$は$n \to \infty$で$e$に収束します。次に、 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e^{(-1)^n} $$ より、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$は$n \to \infty$で発散します。確かに(1)は成立しません。
答え
(1) $a_n \ge 0, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l$ ならば $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$
これは成立しない。
