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R^dのある点列の集積点全体となる集合は?

定義

$\mathbb{R}^d$の点列$\{x_n\}$に対し、この点列の収束する部分列の極限となる点を点列$\{x_n\}$の集積点という。

問題

$\mathbb{R}^d$のある点列の集積点全体となる集合はどんな集合か。

答え

$\mathbb{R}^d$の閉集合である。

必要性の証明

$A \subset \mathbb{R}^d$が点列$\{x_n\}$の集積点全体とする。$A$が閉集合であることを示す。まず、

$a \in A \iff$ 任意の$\epsilon > 0$に対し無限個の自然数$n$が存在して$|x_n - a| < \epsilon$

が成り立つ。

$A$が閉集合であることを示すには$A$の閉包$\bar A$が$A$に含まれることをいえばよい。 $a \in \bar A$, $\epsilon > 0$とする。 閉包の定義より$a$の$\epsilon / 2$近傍に$A$の点$b$が存在する。 $b \in A$より無限個の自然数$n$が存在して$|x_n - b| < \epsilon/2$である。すると$|x_n - a| < \epsilon$が無限個の$n$で成立するので$a$は$A$に属する。したがって$\bar{A} \subset A$である。

十分性の証明

$\mathbb{R}^d$の部分集合に対して、「ある点列$\{x_n\}$の集積点全体と一致する」という条件を(P)とする。

証明したいことは任意の閉集合が(P)を満たすことである。

(P)を満たす集合が可算個あったとき、それらの和集合もまた(P)を満たす。 実際、(P)を満たす集合$A_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$があったとき、各集合に対応する点列をうまく一列に並べればよい。

$\mathbb{R}^d$の閉集合有界閉集合の可算個の和として書けるので有界閉集合が条件(P)を満たすことを言えばよい。

そこで$A$を$\mathbb{R}^d$の有界閉集合とする。このとき点列$\{x_n\}$が存在して$A$はその集積点全体と一致することを示す。

$\epsilon > 0$とする。このとき $$ A \subset \bigcup_{a \in A} U_\epsilon(a) $$ が成り立つ ($U_\epsilon(a)$は$a$の$\epsilon$近傍)。

$\mathbb{R}^d$の有界閉集合$A$はコンパクトなので、有限個の点$a_1, \cdots, a_n \in A$が存在して $$ A \subset \bigcup_{k=1}^n U_\epsilon(a_k) $$ となる。

正整数$m $に対して$\epsilon = 1/m $として上の方法で得られる$A$の有限列$\{a_1, \cdots, a_n\}$を各$m $に対して選び$S_m $とする。すると$A$の任意の点は有限列$S_m $の中のどれかの点との距離が$1/m $未満となる。

有限列$S_1, S_2, S_3, \cdots$を順につなげてできる点列を$\{x_n\}$とする。 このとき点列$\{x_n\}$の集積点全体は$A$となる。

実際、$x_n \in A (n \in \mathbb{N})$で$A$は閉集合だから、$\{x_n\}$のどんな収束する部分列の極限も$A$に属する。

逆に任意の$a \in A$に対して$a$は$\{x_n\}$の集積点である。 実際、各$m \in \mathbb{N}$に対して有限列$S_m $の要素で$a$にもっとも近いものを$y_m $として点列$\{y_m\}$をとればよい。 $\{y_m\}$は$\{x_n\}$の部分列であり、$|y_m - a| < 1/m (m = 1,2,3,\cdots)$なので$\lim_{m \to \infty} y_m = a$である。

(証明終わり)