週刊 MAのモデルを作る #02 名称と強制関係の定義

前回までMAの主張とその応用を紹介した．今回からMAのモデルを作ることを目的に強制法を学んでいく． MAのモデルを作るには反復強制法が必要になり目標が遠いので，連続体仮説の否定の無矛盾性を中間目標としよう．

今回から半順序集合といったら最大元の指定された半順序集合 $(P, \le, 1)$ を考える．半順序集合 $P$ の元 $p$ は条件 (condition)と呼ぶことがある．

これから定義を述べる $P$ 名称と強制関係の気持ちを書いておく．まず，アイディアとして我々は集合論のモデル(宇宙) $V$ に $G$ という元を付け加えて拡大し $V[G$ ]というより大きなモデルを作りたい．しかし $V$ というのは集合全体のクラスだったので新しい元 $G$ を付け加えるというのは不合理である．そこで今いる宇宙 $V$ の中で新しい宇宙 $V[G$ ]で成り立つことを予言することで本当に新しい宇宙を作ることの代替とするのである．この意味で， $P$ 名称は新しい宇宙にいるオブジェクトを今の宇宙にいながら参照するためのものである．そして強制関係 $p \Vdash \varphi$ は $p$ という情報だけから論理式 $\varphi$ が新しい宇宙で必ず成立することを予言できるという意味である．半順序集合 $P$ の元 $p$ を確率だと思って， $p \Vdash \varphi$ は $\varphi$ が新しい宇宙で確率 $p$ (以上)で成り立っていると読んでもそんなに間違いではない．もちろん，普通の確率と違って今の「確率」は全順序ではないが．

では $P$ 名称を定める．

定義1
$P$ を半順序集合とする． $P$ 名称のなすクラス $V^P$ を定める．まず帰納的に $V^P_\alpha$ という集合を次で定める．

$\begin{align*} V^P_0 &= \emptyset \\ V^P_{\alpha+1} &= \mathcal{P}(V^P_\alpha \times P) \\ V^P_{\gamma} &= \bigcup_{\alpha \lt \gamma} V^P_\alpha\ \text{($\gamma$は極限順序数)} \end{align*}$

そして，

$\displaystyle{ V^P = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{On}} V^P_\alpha }$

とおく． $V^P$ の元を $P$ 名称という．

$P$ 名称は $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ のような文字で表すことにする．定義より $P$ 名称 $\dot{x}$ の元は $(\dot{y}, p)$ といった対で $\dot{y}$ は $P$ 名称で $p$ は条件であることに注意する．

再びお気持ちであるが， $P$ 名称とは所属関係に確率の付随した集合と思ってもよいだろう． $(\dot{y}, p) \in \dot{x}$ というのは確率 $p$ (以上)で $\dot{y}$ が指す集合を $\dot{x}$ が指す集合の元にすると読める．

次に条件 $p \in P$ と集合論の言語の論理式 $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ と $P$ 名称 $\tau_1, \dots, \tau_n$ に対して $p \Vdash \varphi(\tau_1, \dots, \tau_n)$ という関係を定める．これは $p$ が $\varphi$ を強制すると読む．

まず原子論理式の場合を定義する．

定義2
$(\operatorname{rank}(\dot{x}), \operatorname{rank}(\dot{y}))$ に関する再帰で次を定義する．

$\begin{align*} p \Vdash \dot{x} \in \dot{y} &\iff \text{$\{ q \in P : \exists (\dot{z}, r) \in \dot{y} \ (q \le r \land q \Vdash \dot{x} = \dot{z}) \}$が$p$以下で稠密} \\ p \Vdash \dot{y} \in \dot{x} &\iff \text{$\{ q \in P : \exists (\dot{z}, r) \in \dot{x} \ (q \le r \land q \Vdash \dot{y} = \dot{z}) \}$が$p$以下で稠密} \\ p \Vdash \dot{x} = \dot{y} &\iff p \Vdash \dot{y} = \dot{x} \iff \forall (\dot{z}, q) \in \dot{x}\ \forall r \le p, q\ (r \Vdash \dot{z} \in \dot{y}) \\ & \hspace{4.2cm} \land \forall (\dot{z}, q) \in \dot{y}\ \forall r \le p, q\ (r \Vdash \dot{z} \in \dot{x}) \end{align*}$

ここで $D \subset P$ が $p \in P$ 以下で稠密とは $\forall q \le p\ \exists r \le q\ (r \in D)$ の意味である．

定義の再帰がうまくいくことのために， $\dot{x}$ と $\dot{y}$ を入れ替えたものも定義に含めている．

次は一般の論理式である．以下論理式 $\varphi$ の変数に代入する名称を省略する．たとえば $p \Vdash \varphi$ は $p \Vdash \varphi(\tau_1, \dots, \tau_n)$ の省略表記である．

定義3

$\begin{align*} p \Vdash \varphi \to \psi &\iff \forall q \le p\ (q \Vdash \varphi \implies q \Vdash \psi) \\ p \Vdash \neg \varphi &\iff \forall q \le p\ q \nVdash \varphi \\ p \Vdash \forall x \varphi(x) &\iff \forall \dot{x} \in V^P\ p \Vdash \varphi(\dot{x}) \end{align*}$

明記していなかったが，本シリーズでは論理記号としては $\to, \neg, \forall$ を本物の記号とし $\land, \lor, \exists$ がそれらを使った適切な省略表現とする．

定義3における論理式は集合論の内部で定義された論理式ではなくメタで定義された論理式である．

命題4
$p \Vdash \varphi$ かつ $q \le p$ ならば $q \Vdash \varphi$ .

証明．論理式の構成に関する帰納法． $\forall$ 以外の場合は帰納法の仮定を使わずに定義よりただちに言える． $\forall$ では帰納法の仮定を使う． □

命題5
$p \Vdash \varphi \iff \text{$\{q : q \Vdash \varphi \}$が$p$以下で稠密}$ .

証明． $\Rightarrow$ は命題4より明らか． $\Leftarrow$ を言う．

まず原子論理式に対してランクに関する帰納法で示す．

$\varphi \equiv \dot{x} \in \dot{y}$ のとき． $p \in P, \dot{x}, \dot{y} \in V^P$ を固定し

$\displaystyle{ D = \{ q \in P : \exists (\dot{z}, r) \in \dot{y} \ (q \le r \land q \Vdash \dot{x} = \dot{z}) \} }$

とおく．すると仮定

$\displaystyle{ \text{$\{ q : q \Vdash \dot{x} \in \dot{y} \}$が$p$以下で稠密} }$

は

$\displaystyle{ \text{$\{ q : \text{$D$が$q$以下で稠密} \}$が$p$以下で稠密} }$

と言い換えられる．これは単に

$\displaystyle{ \text{$D$が$p$以下で稠密である} }$

ことと同値である．よって， $p \Vdash \dot{x} \in \dot{y}$ である．

$\varphi \equiv \dot{x} = \dot{y}$ のとき． $\{q : q \Vdash \dot{x}=\dot{y}\}$ が $p$ 以下で稠密であるとする． $p \Vdash \dot{x} = \dot{y}$ の定義の前半: $\forall (\dot{z}, q) \in \dot{x}\ \forall r \le p, q\ r \Vdash \dot{z} \in \dot{y}$ を示そう．後半も同様である．

$(\dot{z}, q) \in \dot{y}, r \le p, q$ を固定する． $s \le r$ とする．すると仮定より $t \le s$ がとれて $t \Vdash \dot{x} = \dot{y}$ . すると $t \Vdash \dot{x} = \dot{y}$ の定義より $t \Vdash \dot{z} \in \dot{x}$ . これで $\{t : t \Vdash \dot{z} \in \dot{x} \}$ が $r$ 以下で稠密なことが示せたので帰納法の仮定より $r \Vdash \dot{z} \in \dot{x}$ .

次に論理式の構成に関する帰納法で一般の論理式で命題5が成り立つことを示す．

$\varphi \to \psi$ のとき． $q \le p$ を任意にとり， $q \Vdash \varphi$ を仮定する． $r \le q$ とする．このとき仮定より $s \le r$ がとれて $s \Vdash \varphi \Rightarrow s \Vdash \psi$ である．今命題4より $s \Vdash \varphi$ であるので， $s \Vdash \psi$ .これで $\{s : s \Vdash \psi \}$ が $q$ 以下で稠密なことが言えたので帰納法の仮定より $q \Vdash \psi$ である．

$\neg \varphi$ のとき． $q \le p$ を任意にとる．すると $r \le q$ がとれて， $r \Vdash \neg \varphi$ . よって，任意の $s \le r$ で $s \nVdash \varphi$ . これである $r \le q$ が存在してすべての $s \le r$ で $s \nVdash \varphi$ が示せたが，これは $\{s : s \Vdash \varphi \}$ が $q$ 以下で稠密なことの否定である．よって $q \nVdash \varphi$ .

$\forall x \varphi(x)$ のとき． $\dot{x} \in V^P$ を任意にとる． $q \le p$ を任意にとる．すると仮定より $r \le q$ がとれて， $\forall \dot{x} \in V^P\ r \Vdash \varphi(\dot{x})$ . ここで今固定している $\dot{x}$ を代入すれば $r \Vdash \varphi(\dot{x})$ . よって， $\{r : r \Vdash \varphi(\dot{x}) \}$ が $p$ 以下で稠密が示せたので帰納法の仮定より $p \Vdash \varphi(\dot{x})$ .よって $p \Vdash \forall x \varphi(x)$ . □

命題6
$p \nVdash \varphi \iff \exists q \le p\ (q \Vdash \neg \varphi)$ .

証明．右辺を否定の強制の定義に従って書き直すと

$\displaystyle{ \exists q \le p \forall r \le q\ (r \nVdash \varphi) }$

であるが，これは $\{ r : r \Vdash \varphi \}$ が $p$ 以下で稠密であることの否定である．よって命題6は命題5の主張で同値の両辺を否定したものにすぎない． □

命題7

$p \Vdash \varphi \to \psi \iff \forall q \le p\ (q \Vdash \varphi \implies \exists r \le q\ (r \Vdash \psi))$ .
$p \Vdash \varphi \lor \psi \iff \text{$\{q : (q \Vdash \varphi) \lor (q \Vdash \psi) \}$が$p$以下で稠密}$ .
$p \Vdash \varphi \land \psi \iff (p \Vdash \varphi) \land (p \Vdash \psi)$ .
$p \Vdash \exists x \varphi \iff \text{$\{q : \exists \dot{x} \in V^P\ q \Vdash \varphi(\dot{x})\}$が$p$以下で稠密}$ .

証明． 1について． $\Rightarrow$ は定義より明らか． $\Leftarrow$ を示す． $q \le p$ を任意にとり， $q \Vdash \varphi$ を仮定する． $r \le q$ を任意にとると， $r \Vdash \varphi$ である．よって仮定より， $s \le r$ がとれて， $s \Vdash \psi$ . これで $\{ s : s \Vdash \psi \}$ が $q$ 以下で稠密なことを言えたので $q \Vdash \psi$ .

2について． $\varphi \lor \psi$ は $\neg \varphi \to \psi$ の省略形と考えるので， $p \Vdash \varphi \lor \psi$ は $\forall q \le p\ (q \Vdash \neg \varphi \Rightarrow q \Vdash \psi)$ と書ける． $D = \{q : (q \Vdash \varphi) \lor (q \Vdash \psi) \}$ とおく．

$\Rightarrow$ について． $D$ が $p$ 以下で稠密なことを言えばよい． $q \le p$ とする． $q$ が $q \Vdash \varphi$ を満たすなら $q \in D, q \le p$ なのでそれでよい．そうでないなら，命題6より $q \nVdash \varphi$ なので $r \le q$ があって $r \Vdash \neg \varphi$ である．すると仮定より $r \Vdash \psi$ .よって $r \in D, r \le p$ なのでよい．

$\Leftarrow$ について． $q \le p$ を任意にとって， $q \Vdash \neg \varphi$ と仮定する． $D$ の稠密性より $r \le q$ がとれて， $r \Vdash \varphi$ または $r \Vdash \psi$ . $q \Vdash \neg \varphi$ の定義から $r \Vdash \varphi$ はありえない．よって $r \Vdash \psi$ . これで命題7 (1)で述べた $p \Vdash \neg \varphi \to \psi$ の同値な条件が確かめられたのでこれでよい．

3について． $\varphi \land \psi$ は $\neg (\neg \varphi \lor \neg \psi)$ の省略形と考える．よって

$\begin{align*} p \Vdash \varphi \land \psi &\iff \forall q \le p\ (q \nVdash (\neg \varphi \lor \neg \psi)) \\ &\iff \forall q \le p\ \exists r \le q\ \forall s \le r\ ( (s \nVdash \neg \varphi) \land (s \nVdash \neg \psi))) \\ &\iff \forall q \le p\ \exists r \le q\ \forall s \le r\ ( (\exists t \le s\ t \Vdash \varphi) \land (\exists t \le s\ t \Vdash \varphi)) \tag{*} \\ \end{align*}$

である．

$\Rightarrow$ について． $q \le p$ を任意にとる． (*)にこの $q$ を代入する．このとき $r \le q$ がとれて $\forall s \le r\ ( (\exists t \le s\ t \Vdash \varphi) \land (\exists t \le s\ t \Vdash \varphi))$ . $s = r$ を代入することで， $t \le r$ が存在して $t \Vdash \varphi$ . これで $\{ t : t \Vdash \varphi \}$ が $p$ 以下で稠密なことが示せたので $p \Vdash \varphi$ .同様に $p \Vdash \psi$ も示せる．

$\Leftarrow$ について． $p \Vdash \varphi$ かつ $p \Vdash \psi$ とする． (*)において任意の $q \le p$ が与えられたとき， $r = q$ とおく．すると任意の $s \le r$ が与えられたときに $t = s$ とおけば $t \Vdash \varphi$ .また同様に $t = s$ とおけば $t \Vdash \psi$ .よって $p \Vdash \varphi \land \psi$ が言えた．

4について． $\exists x \varphi$ は $\neg \forall x \neg \varphi$ の省略形と考える．よって

$\begin{align*} p \Vdash \exists x \varphi(x) &\iff \forall q \le p\ q \nVdash \forall x \neg \varphi(x) \\ &\iff \forall q \le p\ \exists \dot{x} \in V^P\ q \nVdash \neg \varphi(\dot{x}) \\ &\iff \forall q \le p\ \exists \dot{x} \in V^P\ \exists r \le q\ r \Vdash \varphi(\dot{x}) \\ &\iff \forall q \le p\ \exists r \le q\ \exists \dot{x} \in V^P\ r \Vdash \varphi(\dot{x}) \\ \end{align*}$