理科

なぜV上のジェネリックフィルターがあると思ってよいか？

強制法ではよく「 $V$ 上のジェネリックフィルター」をとる．こんなものは実在しないのであるが，ではなぜそれがあると考えて議論してもいいのだろうか．

一つの正当化の方法として，Lévyの反映定理を使うものがある．それを紹介しよう．

以下の命題を例に取ろう．

命題
$P = \operatorname{Fn}(\omega, 2)$ とする (つまり $P$ は $\omega$ から $2$ への有限部分関数全体)．このとき

$\displaystyle{ \Vdash_P \text{$\bigcup \dot{G}$に$1$は無限回現れる}. }$

なお， $\bigcup G$ は $\{0, 1\}$ の $\omega$ 列であることに注意しておく．

これの $V$ 上ジェネリックなフィルターを使った通常の証明は次のようになる．

証明． $(V, P)$ ジェネリックフィルター $G$ をとる．各 $m \in \omega$ について

$\displaystyle{ D_m = \{ p \in P : \exists n > m\ p(n) = 1 \} }$

とおくと， $D_m$ は $V$ に属する稠密集合である．

よって，各 $m \in \omega$ について $D_m \cap G \ne \emptyset$ . これは

$\displaystyle{ \text{$\bigcup G$に$1$は無限回現れる} }$

ことを意味する．したがって，強制定理より

$\displaystyle{ \Vdash \text{$\bigcup \dot{G}$に$1$は無限回現れる}. }$

□

なお，上で使った強制定理は， $V$ 上のジェネリックフィルターに関する，いわば"偽物"の強制定理である．

さて，これをLévyの反映定理などを使って正当な証明に書き直す．すると以下のようになる．

書き直した証明．各 $m \in \omega$ について

$\displaystyle{ D_m = \{ p \in P : \exists n > m\ p(n) = 1 \} }$

とおくと， $D_m$ は $V$ に属する稠密集合である．

Lévyの反映定理とLöwenheim--Skolemの定理より以下のような可算構造 $M$ であってZFCの十分大きい有限部分のモデルとなっているものがとれる．

以下の議論で出てくるすべての論理式 (有限個)は $M$ と $V$ の間で絶対的．
$P, D_m \in M$ (for all $m \in \omega$ ).

$\pi: M \to \overline{M}$ をMostowski崩壊とする．

$M$ と $V$ の間の絶対性と $\pi$ の同型性より

$\displaystyle{ \overline{M} \models \text{$\pi(P) = \operatorname{Fn}(\omega, 2)$} }$

かつ各 $m \in \omega$ について

$\displaystyle{ \overline{M} \models \text{$\pi(D_m)$は$\pi(P)$の稠密集合} }$

である．また

$\displaystyle{ \overline{M} \models \forall p \in \pi(D_m)\ \exists n > m\ p(n) = 1 }$

である．

ここで $(\overline{M}, \pi(P))$ ジェネリックフィルター $G$ をとる． $\overline{M}$ はctmなのでこれは可能．

今， $\overline{M}[G$ ]の中で議論する． $m \in \omega$ とする．ジェネリック性より $G \cap \pi(D_m) \neq \emptyset$ である．そこで $p \in G \cap \pi(D_m)$ をとると， $\exists n > m\ p(n) = 1$ . よって $(\bigcup G)(n) = 1$ . 今 $m$ は任意だったから

$\displaystyle{ \forall m \in \omega\ \exists n > m\ (\bigcup G)(n) = 1 }$

が言えた．つまり，

$\displaystyle{ \text{$\bigcup G$に$1$は無限回現れる}. }$

さて，以上の $\overline{M}[G$ ]の中での議論より

$\displaystyle{ \overline{M}[G] \models \text{$\bigcup G$に$1$は無限回現れる} }$

なので(本物の)強制定理より

$\displaystyle{ \overline{M} \models (\Vdash \text{$\bigcup \dot{G}$に$1$は無限回現れる}). }$

$\pi$ が同型だったので、

$\displaystyle{ M \models (\Vdash \text{$\bigcup \dot{G}$に$1$は無限回現れる}). }$

ところが $M$ と $V$ の間の絶対性より

$\displaystyle{ \Vdash \text{$\bigcup \dot{G}$に$1$は無限回現れる} }$

となる．これで証明が完了した． □

このようにして「 $V$ 上のジェネリックフィルターをとる」という操作は正当化される．つまり，「 $V$ 上のジェネリックフィルター $G$ をとり，今から $V[G$ ]の中で議論する」という宣言を「Lévyの反映定理とLöwenheim--Skolemの定理により議論に十分な可算モデルをとって，それをMostowski崩壊してctm $\overline{M}$ を得て，そこ上のジェネリックフィルターをとる．その中で議論する．その後強制定理を使い，最後に絶対性で $V$ に戻ってくる」と翻訳すればよいのだ．

参考文献

渕野昌 (2018) "Iterated Forcing" https://fuchino.ddo.jp/notes/iterated-forcing-katowice-2018.pdf

この記事は文献1の1.1節を参考にした．

補足

この記事はあくまで正当化の一つの方法を書いたにすぎない．ほかの正当化については

Hamkinsの[1108.4223] The set-theoretic multiverse
Friedman, Fuchino and Sakaiの[1607.01625] On the set-generic multiverse

などに書いてあるかもしれないが，このブログの筆者はまだ読んでいない．